魚の分布

によるベンジャミン・アンダーソン博士 8月 3, 2023 確率 0コメント

この記事では、統計におけるポアソン分布とは何か、またその用途について説明します。したがって、ポアソン分布の定義、ポアソン分布の例、およびその特性が何であるかがわかります。最後に、オンライン計算機を使用してポアソン分布の確率を計算できるようになります。

ポアソン分布とは何ですか?

ポアソン分布は、一定期間内に特定の数のイベントが発生する確率を定義する確率分布です。

言い換えれば、ポアソン分布は、時間間隔内で現象が繰り返される回数を表す確率変数をモデル化するために使用されます。

ポアソン分布には、ギリシャ文字 λ で表される特徴的なパラメーターがあり、特定の間隔中に調査対象のイベントが発生すると予想される回数を示します。

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

一般に、ポアソン分布は、発生確率が非常に低いイベントを統計的にモデル化するために使用されます。以下に、このタイプの確率分布の例をいくつか示します。

ポアソン分布の例

ポアソン分布の定義を確認した後、ポアソン分布の例をいくつか示します。

ポアソン分布の例:

1時間あたりに入店する人の数。
1 か月間に 2 つの国の国境を越える車両の数。
1 日に Web ページにアクセスするユーザーの数。
工場で 1 日に生産される不良部品の数。
電話交換機が 1 分間に受信する通話の数。

魚の分布式

ポアソン分布では、 x 個のイベントが発生する確率は、数値eの -λ乗にλのx乗を乗算し、 xの階乗で割った値に等しくなります。

したがって、ポアソン分布の確率を計算する式は次のようになります。

👉以下の計算機を使用して、ポアソン分布に従う変数の確率を計算できます。

ポアソン分布は離散確率分布であるため、累積確率を決定するには、問題の値までのすべての値の確率を見つけて、計算されたすべての確率を加算する必要があります。

ポアソン分布に関する演習を解決しました

ブランドによって販売された製品の数は、λ=5 個/日のポアソン分布に従います。 1 日に 7 個しか売れない確率はどれくらいですか? 1 日に 3 個以下が売れた確率は?

問題に必要なさまざまな確率を取得するには、ポアソン分布の公式 (上記を参照) を適用する必要があります。したがって、この式を使用して、1 日に 7 ユニットが売れる確率を計算します。

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=7]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^7}{7!}\\[2ex]P[X=7]&=0,1044\end{aligned}$

次に、3 個以下のユニットが販売される累積確率を決定するように求められます。したがって、この確率を求めるには、1 ユニット、2 ユニット、3 ユニットが個別に販売される確率を計算し、それらを合計する必要があります。

$P[X\leq 3]=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]$

したがって、まず各確率を個別に計算します。

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=1]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^1}{1!}\\[2ex]P[X=1]&=0,0337\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=2]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^2}{2!}\\[2ex]P[X=2]&=0,0842\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=3]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^3}{3!}\\[2ex]P[X=3]&=0,1404\end{aligned}$

次に、計算された 3 つの確率を加算して、1 日に 3 ユニット以下が販売される確率を決定します。

$\begin{aligned}P[X\leq 3]&=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,0337+0,0842+0,1404\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,2583\end{aligned}$

ポアソン分布の特徴

このセクションでは、ポアソン分布の特徴を見ていきます。

ポアソン分布は、単一の特性パラメーター λ によって定義され、これは、調査対象のイベントが特定の期間中に発生すると予想される回数を示します。

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

ポアソン分布の平均は、その特性パラメータ λ に等しくなります。

$E[X]=\lambda$

同様に、ポアソン分布の分散は、その特性パラメーター λ に相当します。

$Var(X)=\lambda$

λ が整数の場合、ポアソン分布のモードは二峰性であり、その値は λ と λ-1 です。代わりに、λ が整数でない場合、ポアソン分布の最頻値は λ 以下の最大の整数になります。

$\begin{array}{l}\lambda \in \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\{\lambda, \lambda-1\} \\[2ex]}\lambda \ \cancel{\in} \ \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\lfloor\lambda\rfloor\end{array}$

ポアソン分布の中央値を決定するための特定の公式はありませんが、その間隔は次のように求めることができます。

$\lambda-\ln 2\leq Me < \lambda +\cfrac{1}{3}$

ポアソン分布の確率関数は次のとおりです。

$P[X=x]=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}$

独立したポアソン確率変数を追加すると、特性パラメーターが元の変数のパラメーターの合計である別のポアソン確率変数が生成されます。

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Poisson}(\lambda_i) \quad i=1,\ldots,N\\[2ex] \displaystyle Y=\sum_{i=1}^N X_i\sim \text{Poisson}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\end{array}$