기하학적 분포 소개

기하 분포는 일련의 베르누이 시행에서 첫 번째 성공을 경험하기 전에 특정 수의 실패를 경험할 확률을 설명합니다.

베르누이 시행은 ‘성공’ 또는 ‘실패’라는 두 가지 결과만 가능한 실험이며, 실험을 수행할 때마다 성공할 확률은 동일합니다.

베르누이 에세이의 예는 동전 던지기입니다. 동전은 앞면이 두 개만 나올 수 있으며(앞면이 “적중”이고 뒷면이 “실패”라고 부를 수 있음), 동전이 공정하다고 가정할 때 각 던지기의 성공 확률은 0.5입니다.

확률 변수 X 가 기하학적 분포를 따르는 경우 첫 번째 성공을 경험하기 전에 k번 실패를 경험할 확률은 다음 공식으로 구할 수 있습니다.

P(X=k) = (1-p) ^kp

금:

• k: 첫 번째 성공 전 실패 횟수
• p: 각 시행의 성공 확률

예를 들어, 앞면이 나올 때까지 공정한 동전을 몇 번 던져야 하는지 알고 싶다고 가정해 보겠습니다. 위의 공식을 사용하여 0, 1, 2, 3개의 실패 등을 경험할 확률을 결정할 수 있습니다. 동전이 앞면에 떨어지기 전에:

참고: 동전을 처음 던질 때 앞면이 나오면 “실패”가 0이 될 수 있습니다.

P(X=0) = (1-.5) ⁰ (.5) = 0.5

P(X=1) = (1-.5) ¹ (.5) = 0.25

P(X=2) = (1-.5) ² (.5) = 0.125

P(X=3) = (1-0.5) ³ (0.5) = 0.0625

우리는 무한대까지 동전을 던질 확률을 계산할 수 있습니다. 그런 다음 이 확률 분포를 시각화하기 위해 간단한 히스토그램을 만듭니다.

누적 기하학적 확률 계산

첫 번째 성공까지 k 개 이하의 실패를 경험할 누적 확률은 다음 공식으로 구할 수 있습니다.

P(X≤k) = 1 – (1-p) ^k+1

금:

• k: 첫 번째 성공 전 실패 횟수
• p: 각 시행의 성공 확률

예를 들어, 동전이 마침내 앞면이 나올 때까지 3번 이하의 “실패”가 발생할 확률을 알고 싶다고 가정해 보겠습니다. 이 확률을 계산하기 위해 다음 공식을 사용합니다.

P(X≤3) = 1 – (1-0.5) ³⁺¹ = 0.9375

비슷한 공식을 사용하여 각 누적 확률을 계산할 수 있습니다.

P(X≤0) = 1 – (1-.5) ⁰⁺¹ = 0.5

P(X≤1) = 1 – (1-0.5) ¹⁺¹ = 0.75

P(X≤2) = 1 – (1-0.5) ²⁺¹ = 0.875

우리는 무한대까지 동전을 던질 수 있는 횟수에 대해 이러한 누적 확률을 계산할 수 있습니다. 그런 다음 이 누적 확률 분포를 시각화하기 위해 히스토그램을 만들 수 있습니다.

기하학적 분포의 속성

기하 분포에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

분포의 평균은 (1-p) / p 입니다.

분포의 분산은 (1-p) / p ² 입니다.

예를 들어:

뒷면이 나오기 전에 동전이 앞면이 나올 것으로 예상하는 평균 횟수는 (1-p) / p = (1-.5) / .5 = 1 입니다 .

앞면이 나올 때까지 던진 횟수의 분산은 (1-p)/ ^p2 =(1-.5)/입니다. ⁵² = 2 .

기하분포 연습 문제

다음 연습 문제를 사용하여 기하학적 분포에 대한 지식을 테스트하세요.

참고: 이러한 질문에 대한 답을 계산하기 위해 기하 분포 계산기를 사용할 것입니다.

문제 1

질문: 연구자가 도서관 밖에서 사람들에게 특정 법률을 지지하는지 물어보기 위해 기다리고 있습니다. 특정 사람이 법을 지지할 확률은 p = 0.2입니다. 연구자가 말하는 네 번째 사람이 처음으로 법을 지지할 확률은 얼마입니까?

답: 첫 번째 성공까지의 “실패” 수, 즉 첫 번째 사람이 법을 지지할 때까지 법을 지지하지 않는 사람의 수는 3입니다. 따라서 p = 0.2 및 x인 기하 분포 계산기를 사용하면 = 3번 실패하면 P(X=3) = 0.10240 이라는 것을 알 수 있습니다.

문제 2

질문: 연구자가 도서관 밖에서 사람들에게 특정 법률을 지지하는지 물어보기 위해 기다리고 있습니다. 특정 사람이 법을 지지할 확률은 p = 0.2입니다. 연구자가 법을 지지하는 사람을 찾기 위해 4명 이상의 사람과 대화해야 할 확률은 얼마입니까?

답변: p =0.2 및 x = 4 실패로 기하 분포 계산기를 사용하면 P(X>4) = 0.32768 이라는 것을 알 수 있습니다.

문제 3

질문: 연구자가 도서관 밖에서 사람들에게 특정 법률을 지지하는지 물어보기 위해 기다리고 있습니다. 특정 사람이 법을 지지할 확률은 p = 0.2입니다. 연구자가 법을 지지하는 사람을 찾을 때까지 대화해야 할 것으로 예상되는 사람의 수는 몇 명입니까?

답: 기하 분포의 평균은 (1-p) / p 입니다. 이 상황에서 평균은 (1-.2) / .2 = 4 입니다.