양방향 anova를 수동으로 수행하는 방법

양방향 ANOVA는 두 요인으로 분할 된 3개 이상의 독립 그룹 평균 간에 통계적으로 유의미한 차이가 있는지 여부를 확인하는 데 사용됩니다.

이 튜토리얼에서는 양방향 ANOVA를 수동으로 수행하는 방법을 설명합니다.

예: 수동 양방향 ANOVA

식물학자가 식물의 성장이 햇빛에 대한 노출과 물주기의 빈도에 의해 영향을 받는지 알고 싶어한다고 가정해 보겠습니다. 그녀는 40개의 씨앗을 심고 햇빛 노출과 물 주기 등 다양한 조건에서 한 달 동안 자라게 합니다.

한 달 후에 그녀는 각 식물의 높이를 기록합니다. 결과는 아래와 같습니다:

위의 표에서는 각 조건 조합에서 5개의 식물이 재배되었음을 알 수 있습니다.

예를 들어, 5개의 식물은 매일 물을 주고 햇빛은 주지 않고 자랐으며 두 달 후 키는 4.8인치, 4.4인치, 3.2인치, 3.9인치 및 4.4인치였습니다.

다음 단계를 사용하여 양방향 ANOVA를 수행할 수 있습니다.

1단계: 첫 번째 요인(물주기 빈도)에 대한 제곱합 계산

먼저 40개 식물의 전체 평균 높이를 계산합니다.

전체 평균 = (4.8 + 5 + 6.4 + 6.3 + … + 3.9 + 4.8 + 5.5 + 5.5) / 40 = 5.1525

다음으로, 매일 물을 주는 모든 식물의 평균 키를 계산합니다.

일일 평균 = (4.8 + 5 + 6.4 + 6.3 + … + 4.4 + 4.8 + 5.8 + 5.8) /20 = 5.155

다음으로, 매주 물을 주는 모든 식물의 평균 키를 계산하겠습니다.

주간 평균 = (4.4 + 4.9 + 5.8 + 6 + … + 3.9 + 4.8 + 5.5 + 5.5) /20 = 5.15

다음으로, 다음 공식을 사용하여 “물 주기” 요소에 대한 제곱합을 계산합니다.

Σn( _Xj – X ..) ²

금:

• n : 그룹 j의 표본 크기
• Σ : “합계”를 의미하는 그리스 기호
• X _j : 그룹 j의 평균
• X .. : 대평균

이 예에서는 “물 주기” 요소에 대한 제곱합을 다음과 같이 계산합니다. 20(5.155-5.1525) ² + 20(5.15-5.1525) ² = 0.00025

2단계: 두 번째 요소(일광 노출)에 대한 제곱합 계산

먼저 40개 식물의 전체 평균 높이를 계산합니다.

전체 평균 = (4.8 + 5 + 6.4 + 6.3 + … + 3.9 + 4.8 + 5.5 + 5.5) / 40 = 5.1525

다음으로 태양에 노출되지 않은 모든 식물의 평균 키를 계산합니다.

태양이 없는 평균 = (4.8 + 4.4 + 3.2 + 3.9 + 4.4 + 4.4 + 4.2 + 3.8 + 3.7 + 3.9) / 10 = 4.07

다양한 태양 노출에 노출되는 식물의 평균 키를 찾기 위해 이 계산을 반복합니다.

• 낮은 일조량 평균 = 5.1
• 평균 평균 햇빛 = 5.89
• 평균 높은 일조량 = 5.55

다음으로, 다음 공식을 사용하여 “태양 노출” 요소에 대한 제곱합을 계산합니다.

Σn( _Xj – X ..) ²

금:

• n : 그룹 j의 표본 크기
• Σ : “합계”를 의미하는 그리스 기호
• X _j : 그룹 j의 평균
• X .. : 대평균

이 예에서는 “일사 노출” 요소에 대한 제곱합을 다음과 같이 계산합니다. 10(4.07-5.1525) ² + 10(5.1-5.1525) ² + 10(5.89 -5.1525) ² + 10(5.55-5.1525) ² = 18.76475

3단계: 내부 제곱합 계산(오류)

다음으로, 각 요인 조합과 개별 식물 높이 간의 차이의 제곱의 합을 구하여 제곱합을 계산하겠습니다.

예를 들어, 햇빛에 노출되지 않고 매일 물을 주는 모든 식물의 평균 키는 4.14입니다. 그런 다음 각 개별 식물에 대한 차이의 제곱의 합을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

• 매일 물을 주고 태양이 없는 SS: (4.8-4.14) ² + (4.4-4.14) ² + (3.2-4.14) ² + (3.9-4.14) ² + (4.4-4.14) ² = 1.512

각 요인 조합에 대해 이 프로세스를 반복할 수 있습니다.

• 매일 물주기 및 낮은 햇빛에 대한 SS: 0.928
• 일일 급수 및 평균 일조량에 대한 SS: 1,788
• 매일 물주기 및 강한 햇빛을 위한 SS: 1.648
• 태양이 없을 때 매주 물을 주는 SS: 0.34
• 주간 급수 및 낮은 햇빛에 대한 SS: 0.548
• 주간 급수 및 평균 일조량에 대한 SS: 0.652
• 매주 물주기 및 강한 햇빛을 위한 SS: 1,268

그런 다음 이 모든 값의 합을 사용하여 내부 제곱합을 찾을 수 있습니다(오류).

= 1.512 + 0.928 + 1.788 + 1.648 + 0.34 + 0.548 + 0.652 + 1.268 = 8.684 내의 제곱합

4단계: 총 제곱합 계산

그런 다음 각 식물의 높이와 총 평균 간의 차이를 합산하여 총 제곱합을 계산할 수 있습니다.

총 제곱합 = (4.8 – 5.1525) ² + (5 – 5.1525) ² + … + (5.5 – 5.1525) ² = 28.45975

5단계: 제곱합 상호작용 계산

다음으로, 다음 공식을 사용하여 제곱합 상호작용을 계산합니다.

• 교호작용 SS = SS 합계 – SS 요소 1 – SS 요소 2 – SS 내부
• SS 상호작용 = 28.45975 – 0.00025 – 18.76475 – 8.684
• SS 상호작용 = 1.01075

6단계: 분산분석표 완성

마지막으로 양방향 ANOVA 테이블의 값을 채웁니다.

다음은 표의 다양한 숫자를 계산하는 방법입니다.

• df 급수 빈도: d-1 = 2-1 = 1
• df 태양 노출: k-1 = 4-1 = 3
• dfInteraction : (j-1)*(k-1) = 1*3 = 3
• df In : n – (j*k) = 40 – (2*4) = 32
• 총 df: n-1 = 40-1 = 39
• MS: SS/DF
• 관수빈도 F : 실내 MS/MS 관수빈도
• F 햇빛 노출 : MS/MS 실내 햇빛 노출
• 상호작용 F : 상호작용 MS/MS 내
• p값 급수 빈도 : 분자 df = 1, 분모 df = 32인 F 값 0.000921에 해당하는 p 값
• 태양 노출 p-값 : 분자 df = 3, 분모 df = 32인 F-값 23.04898에 해당하는 p-값
• p-값 상호작용 : 분자 df = 3, 분모 df = 32인 F-값 1.241517에 해당하는 p-값

참고 #1: n = 총 관측 횟수, j = 물주기 빈도 수준 수, k = 태양 노출 수준 수.

참고 #2 : F-값에 해당하는 p-값은 F-분포 계산기를 사용하여 계산되었습니다.

7단계: 결과 해석

ANOVA 테이블에서 다음을 관찰할 수 있습니다.

• 물 주기와 햇빛 노출 사이의 상호 작용에 대한 p-값은 0.311 이었습니다. 이는 α = 0.05에서는 통계적으로 유의하지 않습니다.
• 물 주기에 대한 p-값은 0.975 였습니다. 이는 α = 0.05에서는 통계적으로 유의하지 않습니다.
• 태양 노출에 대한 p-값은 <0.000 이었습니다. 이는 α = 0.05에서 통계적으로 유의합니다.

이러한 결과는 태양 노출이 식물 키에 통계적으로 유의미한 영향을 미치는 유일한 요인임을 나타냅니다.

그리고 상호작용 효과가 없기 때문에 태양 노출의 효과는 각 급수 빈도 수준에서 일관됩니다.

간단히 말해서, 식물에 물을 매일 또는 매주 주는지 여부는 햇빛 노출이 식물에 미치는 영향에 영향을 미치지 않습니다.

추가 리소스

다음 자습서에서는 분산 분석에 대한 추가 정보를 제공합니다.

일원 분산 분석을 수동으로 수행하는 방법
반복 측정 ANOVA를 수동으로 수행하는 방법
전체 가이드: 양방향 ANOVA 결과를 보고하는 방법