음이항 분포

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 3, 2023 개연성 댓글 0개

이 문서에서는 음이항 분포가 무엇인지, 그리고 어떤 용도로 사용되는지 설명합니다. 또한 음이항 분포에 대한 공식, 구체적인 예 및 이러한 유형의 확률 분포의 속성을 찾을 수 있습니다. 마지막으로 온라인 계산기를 사용하여 음이항 분포 확률을 계산할 수 있습니다.

음이항 분포란 무엇입니까?

음이항 분포는 주어진 양의 결과를 얻는 데 필요한 베르누이 시행 횟수를 설명하는 확률 분포입니다.

따라서 음이항 분포에는 두 가지 특성 매개변수가 있습니다. r 은 원하는 성공적인 결과의 수이고 p 는 수행된 각 Bernoulli 실험의 성공 확률입니다.

$X\sim \text{BN}(r,p)$

베르누이 테스트는 “성공”과 “실패”라는 두 가지 결과를 얻을 수 있는 실험이라는 점을 기억하세요. 따라서 “성공” 확률이 p 라면 “실패” 확률은 q=1-p 입니다.

따라서 음이항 분포는 긍정적인 결과를 얻기 위해 필요한 만큼 많은 베르누이 시행을 수행하는 과정을 정의합니다. 게다가 이러한 베르누이 시행은 모두 독립적이며 일정한 성공 확률을 갖습니다.

예를 들어, 음이항 분포를 따르는 확률 변수는 숫자 6이 세 번 나올 때까지 주사위를 굴려야 하는 횟수입니다.

음이항 분포와 이항 분포의 차이점은 음이항 분포는 특정 수의 성공적인 결과를 얻는 데 걸리는 횟수를 계산하는 반면, 이항 분포는 일련의 Bernoulli 테스트에서 성공적인 사례 수를 계산한다는 것입니다.

➤ 참고: 이항 분포란 무엇입니까?

음이항 분포 공식

매개변수 r, p, x가 주어지면 음이항 분포의 확률은 xr 에 있는 x-1 의 조합 수에 (1-p) ^xr을 p ^r 로 곱하여 계산됩니다.

따라서 음이항 분포 확률을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

👉 아래 계산기를 사용하여 음이항 분포를 따르는 변수의 확률을 계산할 수 있습니다.

음이항 분포의 문제 해결

동전을 여덟 번 던졌을 때 네 번째에 앞면이 나올 확률은 얼마입니까?

먼저, 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률을 계산해야 합니다. 이 경우 가능한 두 가지 결과(앞면과 뒷면) 중 하나의 긍정적인 결과(앞면)만 있으므로 성공 확률은 다음과 같습니다.

$p=\cfrac{1}{2}=0,5$

따라서 이 문제의 확률 변수는 r=4이고 p=0.5인 음이항 분포를 따릅니다. 따라서 우리는 음이항 분포 공식을 사용하여 운동이 우리에게 요구하는 확률을 계산합니다.

$\begin{aligned}P[X=x]&=\begin{pmatrix}x-1\\ x-r\end{pmatrix}\cdot (1-p)^{x-r}\cdot p^r\\[2ex]\displaystyle P[X=8]&=\begin{pmatrix}8-1\\ 8-4\end{pmatrix}\cdot (1-0,5)^{8-4}\cdot 0,5^4\\[2ex] P[X=8]&=0,1367\end{aligned}$

음이항 분포의 특성

다음은 음이항 분포의 가장 중요한 특성입니다.

음이항 분포는 두 가지 특성 매개변수로 정의됩니다. r 은 원하는 성공적인 결과의 수이고 p 는 수행된 각 베르누이 실험의 성공 확률입니다.

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{c}r\in \mathbb{Z}^+ \\[2ex] 0 <ul><li> The mean of the negative binomial distribution is equal to <em>r</em> multiplied by <em>(1-p)</em> and divided by <em>p</em> . Thus the formula which makes it possible to calculate the mean of a negative binomial distribution is the following: </li></ul>[latex]E[X]=\cfrac{r\cdot (1-p)}{p}

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \begin{array}{c}
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...The mean of the binomial distribution born
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ... the negative binomial distribution is
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...negative binomial distribution is equal to
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...gative is equal to <em>r</em> multiplied
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...m> multiplied by <em>(1-p)</em> and divided
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...the mean of a binomial distribution born
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.

음이항 분포의 분산은 r 에 (1-p) 를 곱하고 p ² 로 나눈 것과 같습니다.

$Var(X)=\cfrac{r\cdot (1-p)}{p^2}$

매개변수 r이 1보다 큰 경우 음이항 분포의 최빈값은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

$\displaystyle \lfloor \frac{(r-1)(1-p)}{p}\rfloor\quad \text{para }r>1″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”42″ width=”221″ style=”vertical-align: -16px;”></p> </p> <ul> <li> 음이항 분포의 확률을 결정할 수 있는 질량 함수는 다음과 같습니다.</li> </ul> <p class=$ $P[X=x]=\begin{pmatrix}x-1\\ x-r\end{pmatrix}\cdot (1-p)^{x-r}\cdot p^r$