이벤트 작업

여기에서는 이벤트로 어떤 작업을 수행할 수 있는지, 그리고 이벤트를 사용하여 각 작업 유형을 계산하는 방법을 설명합니다. 또한 이벤트 작업에 대한 단계별 연습을 통해 연습할 수 있습니다.

이벤트 작업 유형

확률 이론에는 이벤트에 대한 세 가지 유형의 작업이 있습니다.

• 사건의 합집합 : 하나의 사건 또는 다른 사건이 발생할 확률입니다.
• 사건의 교차 : 두 개 이상의 사건이 발생할 확률의 합입니다.
• 사건차(Event Difference) : 하나의 사건이 발생하지만 동시에 다른 사건이 발생하지 않을 확률이다.

단순히 각 유형의 이벤트 동작을 정의하는 것만으로는 각 유형의 동작이 어떻게 수행되는지 이해하기 어렵습니다. 따라서 아래에서 세 가지 동작에 대해 좀 더 자세히 설명하겠습니다.

사건의 연합

두 사건 A와 B의 합집합은 사건 A, 사건 B 또는 두 사건이 동시에 발생할 확률입니다.

서로 다른 두 사건의 결합을 상징하는 기호는 U이므로, 두 사건의 결합은 사건을 나타내는 두 글자 가운데 U로 표현됩니다.

두 사건의 결합 확률은 각 사건의 발생 확률의 합에서 두 사건의 교차 확률을 뺀 값과 같습니다.

예를 들어, 주사위를 굴릴 때 “짝수 굴림” 또는 “4보다 큰 숫자 굴림” 이벤트의 확률을 계산합니다.

주사위를 굴릴 때 짝수를 얻을 수 있는 가능성은 세 가지(2, 4, 6)가 있으므로 사건이 발생할 확률은 다음과 같습니다.

반면에 4보다 큰 숫자는 두 개(5와 6)뿐이므로 그 확률은 다음과 같습니다.

그리고 두 사건의 교차점은 두 사건에 나타나는 숫자에 해당합니다. 따라서 다음과 같습니다.

즉, 사건 A와 B를 결합하면 발생 확률은 다음과 같습니다.

사건의 교차점

두 사건 A와 B의 교집합은 두 사건 A와 B가 동시에 발생할 확률입니다.

두 사건의 교차점을 나타내는 기호는 역U자로 표시됩니다.

두 사건의 교차 확률은 각 사건의 확률을 개별적으로 곱한 것과 같습니다.

분명히 두 사건의 교차 확률을 계산하려면 이 두 사건이 호환 가능해야 합니다.

예를 들어, 주사위 굴림 중에 “짝수를 얻음” 과 “4보다 큰 숫자를 얻음” 이벤트가 교차할 확률을 찾아보겠습니다.

위에서 계산한 대로 각 사건이 개별적으로 발생할 확률은 다음과 같습니다.

따라서 두 사건의 교차 확률은 각 사건의 확률을 곱한 것입니다.

사건의 차이

두 사건 A – B의 차이는 B에 속하지 않는 A의 모든 기본 사건에 해당합니다. 즉, 두 사건 A – B의 차이에서 사건 A는 충족되지만 사건 B는 동시에 충족될 수 없습니다.

두 사건 A와 B 사이의 차이 확률은 사건 A의 발생 확률에서 A와 B가 공유하는 기본 사건의 발생 확률을 뺀 것과 같습니다.

이전 두 가지 유형의 연산과 동일한 예를 따라 주사위를 굴릴 때 “짝수를 얻는 것” 에서 “4보다 큰 숫자를 얻는 것” 을 뺀 이벤트의 차이에서 이런 일이 발생할 확률을 결정합니다.

사건 A, B의 발생 확률과 그 교차점은 다음과 같습니다(위의 자세한 계산을 참조하세요).

따라서 두 사건 사이의 차이가 나타날 확률은 다음과 같습니다.

흥미롭게도 사건 AB의 차이는 사건 A와 B의 상보적(또는 반대) 사건 사이의 교집합과 동일하다는 속성을 갖습니다.

이벤트 작업에 대한 연습 문제 해결

연습 1

육면체 주사위를 굴릴 때 홀수나 3보다 작은 숫자가 나올 확률은 얼마나 됩니까?

이 연습에서는 하나의 사건 또는 다른 사건이 발생할 확률을 계산해야 하므로 두 사건의 결합 확률을 찾아야 합니다.

따라서 먼저 라플라스의 법칙을 적용하여 홀수를 얻을 확률을 계산합니다.

둘째, 3보다 작은 숫자가 나올 확률을 결정합니다.

이제 이벤트에서 반복되는 기본 이벤트의 확률을 계산해 보겠습니다. 이는 숫자 1(3보다 작은 홀수만)입니다.

마지막으로 두 사건의 합집합 공식을 적용하여 확률을 알아봅니다.

연습 2

상자에 주황색 공 3개, 파란색 공 2개, 흰색 공 5개를 넣습니다. 우리는 공을 집어 상자에 다시 넣은 다음 다른 공을 제거하는 무작위 실험을 수행합니다. 첫 번째에 파란색 공이 나오고 두 번째에 주황색 공이 나올 확률은 얼마입니까?

이 문제를 해결하려면 두 가지 기본 사건이 모두 참이기를 원하기 때문에 두 사건의 교차점을 계산해야 합니다.

따라서 먼저 Laplace의 규칙을 적용하여 파란색 공을 잡을 확률을 계산합니다.

그런 다음 주황색 공을 얻을 확률을 찾습니다.

그리고 마지막으로 발견된 두 확률을 곱하여 두 사건의 교차 확률을 계산합니다.

결론적으로, 첫 번째 시도에서 파란색 공을, 두 번째 시도에서 주황색 공을 잡을 확률은 6%에 불과합니다.

연습 3

Marta가 시험에 합격할 확률은 1/3이고 Juan이 같은 시험에 합격할 확률은 2/5입니다. Marta가 성공하고 Juan이 실패할 확률은 얼마입니까?

이 연습에서는 Marta는 승인하고 Juan은 승인하지 않기 때문에 두 이벤트 간의 차이를 계산해야 합니다. 이렇게 하려면 이벤트에 대한 이러한 유형의 작업에 대한 공식을 사용하면 됩니다.

따라서 Marta가 성공하고 Juan이 동시에 실패할 확률은 20%입니다.