총 확률 정리

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 1, 2023 개연성 댓글 0개

이 기사에서는 총 확률 정리가 무엇인지, 확률 및 통계에서 이 정리가 어떤 용도로 사용되는지 설명합니다. 따라서 총 확률 정리에 대한 공식, 해결된 연습 및 총 확률 정리가 사용되는 경우를 찾을 수 있습니다.

총 확률 정리는 무엇입니까?

확률 이론에서 전체 확률 정리는 표본 공간에 있는 모든 사건의조건부 확률 로부터 표본 공간의 일부가 아닌 사건의 확률을 계산할 수 있게 하는 법칙입니다.

따라서 전체 확률 정리는 해당 사건에 대한 부분 정보를 기반으로 특정 사건의 확률을 계산하는 데 사용됩니다. 때로는 필요한 모든 정보가 없기 때문에 라플라스의 규칙을 직접 적용하여 사건의 확률을 결정할 수 없습니다. 그러나 다른 사건과 관련하여 이 사건에 대한 데이터를 알고 있다면 일반적으로 총 확률 정리가 유용합니다.

간단히 말해서, 총 확률 정리는 사건의 확률을 계산하려고 하지만 특정 조건에서만 그에 대한 정보를 갖고 싶을 때 사용됩니다. 예를 들어, 이 정리의 일부 응용에는 여러 사례를 사용한 실험, 대기열 이론 및 생존 분석이 포함됩니다.

➤ 참조: 라플라스의 법칙

총 확률 정리의 공식

전체 확률 정리는 표본 공간에서 분할을 형성하는 일련의 사건 {A ₁ , A ₂ ,…, _An }이 주어지면 사건 B의 확률은 각 사건의 확률 곱의 합과 같다고 말합니다. 조건부 확률 P(B|A _i )에 의한 사건 P(A _i ).

따라서 총 확률 정리의 공식은 다음과 같습니다.

금:

$P(B)$

사건 B가 일어날 확률이다.
$P(B|A_i)$

는 사건 A _가 주어졌을 때 사건 B의 조건부 확률입니다.
$P(A_i)$

는 사건 _Ai가 발생할 확률이다.

확률적으로 표본 공간의 분할은 합집합이 표본 공간을 형성하는 상호 호환되지 않는 일련의 사건으로 정의된다는 점을 명심하십시오.

➤ 참고: 표본 공간

총 확률 정리의 구체적인 예

총 확률 정리의 정의와 공식이 무엇인지 살펴본 후, 그 의미를 더 잘 이해하기 위해 총 확률 정리를 사용하여 확률을 계산하는 방법에 대한 해결 연습을 살펴보겠습니다.

한 전자제품 매장에서는 X, Y, Z라는 세 가지 브랜드의 TV를 판매합니다. 매출의 20%는 브랜드 TV이고, 브랜드 불량률은 4%, Z 브랜드 TV는 4%로 추정됩니다. 텔레비전에 결함이 있습니다. 결함이 있는 TV를 구입할 가능성은 얼마나 됩니까?

문제 설명은 고객이 각 브랜드의 TV를 구매할 확률을 제공합니다.

사건 A ₁ : 고객이 텔레비전 _브랜드 를 구매합니다.
사건 A ₂ : 고객이 Y 브랜드의 텔레비전을 구매함 → P(A ₂ )=0.50
사건 A ₃ : 고객이 텔레비전 브랜드 Z → P(A ₃ )=0.30을 구매합니다.

또한, 연습 진술은 각 브랜드의 TV에 결함이 있을 확률도 제공합니다.

사건 B: TV에 결함이 있습니다

B|A ₁ : 브랜드 X 텔레비전이 주어지면 텔레비전에 결함이 있음 → P(B|A ₁ )=0.05
B|A ₂ : 텔레비전 브랜드 Y가 주어지면 텔레비전에 결함이 있음 → P(B|A ₂ )=0.03
B|A ₃ : 브랜드 Z 텔레비전이 주어지면 텔레비전에 결함이 있습니다 → P(B|A ₃ )=0.04

따라서 문제의 확률 트리는 다음과 같습니다.

따라서 결함이 있는 TV를 구입할 확률을 계산하려면 총 확률 규칙에 대한 공식을 사용해야 합니다.

$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i)\cdot P(A_i)$

우리의 경우 표본 공간은 세 가지 사건(A ₁ , A ₂ 및 A ₃ )으로 구성되므로 전체 확률 정리의 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle P(B)=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\cdot P(A_3)$

따라서 결함이 있는 텔레비전을 구입할 확률을 찾으려면 이전 표현식의 확률을 대체하는 것으로 충분합니다.

$\begin{aligned} P(B)&=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\cdot P(A_3)\\[2ex]&=0,05\cdot 0,20+0,03\cdot 0,50+0,04\cdot 0,30\\[2ex]&=0,037\end{aligned}$

결론적으로 우리가 TV를 구입했는데 불량일 확률은 3.7%이다.

총 확률 정리와 베이즈 정리

총 확률 정리와 베이즈 정리는 확률 이론에서 두 가지 중요한 정리입니다. 특히 조건부 확률 값에서 확률을 계산할 수 있기 때문입니다.

베이즈 정리는 사건에 대한 선험적 정보가 알려졌을 때 사건의 확률을 계산하는 데 사용되는 확률 이론의 법칙입니다.

구체적으로, 총 확률 정리와 베이즈 정리는 관련되어 있으며, 실제로 베이즈 정리 식의 분모는 총 확률 정리 식과 동일합니다.

베이즈 정리가 무엇인지와 그 적용 예를 보려면 다음 링크를 클릭하세요.

➤ 참조: 베이즈 정리

저자 소개

벤자민 앤더슨

안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기