큰 수의 법칙

이 글에서는 대수의 법칙이 무엇인지, 그리고 확률과 통계에서 그것이 어떤 용도로 사용되는지 설명합니다. 또한 대수의 법칙이 적용된 예를 볼 수 있으며, 이 법칙과 중심극한정리의 관계는 무엇인지도 알 수 있습니다.

큰 수의 법칙은 무엇입니까?

확률 이론에서 대수의 법칙은 여러 번 수행한 결과를 설명하는 규칙입니다. 보다 구체적으로 말하면, 대수의 법칙은 수많은 시행에서 얻은 결과의 평균이 기대값에 가깝다는 것을 의미합니다.

또한 대수의 법칙에 따라 실험을 많이 할수록 결과는 기대값에 가까워집니다.

예를 들어, 동전을 다섯 번 던지면 앞면이 한 번만 나올 수 있습니다(20%). 그러나 동전을 여러 번 던지면(1000회 이상) 예상 값이므로 결과의 거의 절반(50%)이 앞면이 됩니다. 이것은 대수의 법칙의 한 예이다.

대수의 법칙의 기원은 16세기 Gerolamo Cardano에서 찾아볼 수 있지만, 역사상 많은 저자들이 이 통계 법칙의 개발에 참여했습니다: Bernoulli, Poisson, Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli, Kolmogorov 및 Khinchin.

대수의 법칙의 예

대수의 법칙의 정의를 살펴본 후, 그 의미를 더 잘 이해하기 위해 구체적인 예를 살펴보겠습니다. 이번 경우에는 주사위를 굴려 얻을 수 있는 가능한 결과의 확률을 분석해 보겠습니다.

주사위를 굴릴 때 가능한 결과는 6가지(1, 2, 3, 4, 5, 6)이므로 각 기본 사건의 이론적 확률은 다음과 같습니다.

따라서 우리는 발사를 여러 번 시뮬레이션하고 결과를 빈도표 에 기록하여 대수의 법칙이 준수되는지 확인합니다.

수행된 실험 수의 중요성을 알 수 있도록 먼저 10번의 발사를 시뮬레이션한 다음 100번, 마지막으로 1000번의 발사를 시뮬레이션하겠습니다. 따라서 10번의 무작위 주사위 던지기 시뮬레이션을 통해 얻은 결과는 다음과 같습니다.

보시다시피, 10번의 던지기 시뮬레이션을 통해 얻은 빈도 확률은 이론적인 확률과 유사하지 않습니다.

그러나 실험 횟수를 늘릴수록 이 두 측정항목은 더욱 유사해집니다. 100번의 출시 시뮬레이션을 살펴보세요.

이제 주사위의 각 숫자에 대해 계산된 빈도 확률은 이론적인 확률과 더 유사하지만 여전히 매우 다른 값을 얻습니다.

마지막으로 동일한 절차를 수행하지만 1000번의 실행을 시뮬레이션합니다.

마지막 표에서 볼 수 있듯이 이제 빈도 확률 값은 이론 확률에 매우 가깝습니다.

요약하자면, 수행되는 실험의 횟수가 늘어날수록 사건의 빈도 확률 값은 이론적인 발생 확률에 더 가까워집니다. 따라서 더 많은 반복을 수행할수록 실험값이 이론값과 더 유사해지기 때문에 대수의 법칙이 존중됩니다.

대수의 법칙의 한계

대수의 법칙은 대부분의 경우 유효하지만 특정 유형의 확률 분포는 이 통계 정리를 충족하지 않습니다.

예를 들어, Cauchy 분포 또는 Pareto 분포(α<1)는 시행 횟수가 증가함에 따라 수렴되지 않습니다. 이는 분포의 꼬리가 크기 때문이며, 이는 기대값이 없음을 의미합니다.

반면, 일부 실험은 그 특성상 편향되어 있어 연구자는 (의도적이든 아니든) 이성적, 심리적, 경제적 등의 이유로 결과를 수정하는 경향이 있습니다. 원인. 이러한 경우 대수의 법칙은 편향을 해결하는 데 도움이 되지 않지만 시행 횟수를 늘려도 편향은 지속됩니다.

대수의 법칙과 중심극한정리

대수의 법칙과 중심 극한 정리는 확률과 통계의 두 가지 밀접하게 관련된 기본 규칙입니다. 따라서 이 섹션에서는 이들의 관계가 무엇인지, 차이점이 무엇인지 살펴보겠습니다.

중심 극한 정리라고도 불리는 중심 극한 정리는 모집단의 확률 분포에 관계없이 표본 크기가 증가함에 따라 표본 평균의 분포가 정규 분포에 가까워진다는 것을 의미합니다.

대수의 법칙과 중심극한정리의 차이는 대수의 법칙에서는 다수의 시행의 평균이 기대값에 가깝다고 말하지만, 중심극한정리는 다수의 시행의 평균이 기댓값에 가깝다는 것입니다. 표본은 정규 분포에 가깝습니다.