표본의 크기

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 3, 2023 통계 댓글 0개

이 기사에서는 표본 크기가 무엇인지, 이것이 통계에서 중요한 이유를 설명합니다. 또한 적절한 표본 크기를 계산하는 방법과 해결 방법을 알아보고 이것이 어떻게 수행되는지 확인할 수 있습니다.

표본 크기는 얼마입니까?

표본 크기 (또는 표본 크기 )는 연구 표본을 구성하는 개인의 수입니다. 통계에서는 표본이 전체 모집단을 대표할 수 있도록 표본 크기가 중요합니다.

따라서 통계 연구의 표본 크기는 전체 모집단의 특성을 대표할 수 있을 만큼 충분히 커야 합니다. 반면에, 연구 비용이 더 많이 들기 때문에 표본 크기가 지나치게 클 수는 없습니다. 결론적으로 표본의 크기는 너무 크지도 작지도 않게 적당해야 합니다.

예를 들어, 한 국가의 키에 대한 분석을 하고 싶다면 그 나라의 모든 주민의 키를 물어볼 수는 없습니다. 그 이유는 조사 시간이 오래 걸리고 비용이 너무 많이 들기 때문입니다. 그러므로 무작위 표본추출을 수행하고 모집단을 대표하는 표본만을 인터뷰하는 것이 필요합니다.

➤ 참조: 샘플링 유형

그리고 적절한 표본 크기를 어떻게 알 수 있습니까? 다음 섹션에서는 연구 요구 사항에 따라 적절한 표본 크기를 결정하는 방법을 살펴보겠습니다.

표본 크기를 계산하는 방법

평균을 추정하기 위해 필요한 표본 크기는 Z _α/2 의 제곱에 표준 편차(σ)를 곱하고 원하는 오차 한계(e)로 나눈 값과 같습니다. 따라서 표본 크기를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle n=\left(\frac{Z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{e}\right)^2$

금:

$n$

표본 크기입니다.
$\alpha$

원하는 유의 수준입니다. 이를 고려하여

$1-\alpha$

원하는 신뢰 수준입니다.
$Z_{\alpha/2}$

는 α/2의 확률에 해당하는 표준 정규 분포의 분위수입니다. 표본 크기가 크고 95% 신뢰 수준의 경우 일반적으로 1.96에 가깝고 99% 신뢰 수준의 경우 일반적으로 2.576에 가깝습니다.
$\sigma$

표준편차입니다.

이 공식에서는 인구 규모가 무한하다고 가정합니다. 즉, 인구 규모가 매우 크거나 알 수 없다는 뜻입니다.

참고: 위 공식은 평균에 대한 신뢰 공식 구간 에서 파생되었습니다.

표본 크기 계산의 예

이 섹션에서는 통계 조사에 적합한 표본 크기를 예로 계산해 보겠습니다.

모집단의 표준편차가 15 정도인 것은 알지만 그 평균을 모르기 때문에 평균을 추정하는 연구를 진행하고자 합니다. 95% 신뢰 수준에서 ±2의 오차 한계를 원한다면 어떤 표본 크기가 필요합니까?

위에서 본 것처럼 표본 크기를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle n=\left(\frac{Z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{e}\right)^2$

이 경우 원하는 신뢰 수준은 95%이므로 해당 Z _α/2 값은 1.96입니다.

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}Z_{\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]Z_{0,025}=1,96\end{array}$

➤ 참조: 신뢰 수준 값이 포함된 표

마지막으로 이제 모든 매개변수의 가치가 얼마인지 알았으므로 해당 값을 공식에 대입하고 표본 크기를 계산합니다.

$\begin{aligned}\displaystyle n&=\left(\frac{Z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{e}\right)^2\\[2ex] n&=\left(\frac{1,96\cdot 15}{2}\right)^2\\[2ex] n&=216,09 \approx 217 \end{array}$

간단히 말해서, 원하는 요구 사항을 충족하는 모집단 평균을 추정하려면 최소한 217명의 개인 표본이 필요합니다.

표본 크기, 신뢰 수준 및 오차 한계

필요한 신뢰 수준과 오차 한계에 따라 필요한 표본 크기가 달라집니다. 따라서 표본 크기, 신뢰 수준 및 오차 한계는 다음과 같은 관계가 있습니다.

표본 크기와 신뢰 수준은 정비례합니다. 즉, 신뢰 수준이 증가하면 표본 크기도 증가합니다.
표본 크기와 오차 한계는 반비례합니다. 따라서 오차 한계가 증가하면 표본 크기가 감소합니다.
따라서 표본 크기를 늘리면 신뢰 수준이 높아지거나 오차 한계가 줄어들 수 있습니다.

기타 표본 크기 공식

추정할 모수에 따라 필요한 표본 크기에 대한 공식이 약간 다릅니다. 따라서 이 섹션에서는 일부 특수한 경우에 표본 크기를 계산하는 데 유용할 수 있는 다른 공식을 살펴보겠습니다.

비율의 표본 크기

비율(p)을 추정하는 데 필요한 표본 크기를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

$n=\cfrac{N\cdot Z_{\alpha/2}^2\cdot p\cdot (1-p)}{e^2\cdot (N-1)+Z_{\alpha/2}^2\cdot p\cdot (1-p)}$

확률의 표본 크기

확률을 추정하려면 다음 공식을 사용하여 필요한 표본 크기를 결정하는 것이 좋습니다.

$\displaystyle n=\left(\frac{Z_{\alpha/2}}{2\cdot e}\right)^2$

두 개의 독립 평균을 비교하기 위한 표본 크기

주어진 α 위험과 β 위험을 사용하여 두 개의 독립 평균을 비교할 때 표본 크기를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

$n=\cfrac{2\cdot \sigma^2 \cdot \left(Z_{\alpha/2}+Z_\beta\right)}{\Delta^2}$

금

$\Delta$

대립 가설의 두 평균 사이의 차이입니다.

두 쌍의 평균을 비교하기 위한 표본 크기

고정 오차 α 및 오차 β를 사용하여 두 쌍의 평균을 비교하려는 경우 표본의 관측치 수를 찾는 데 사용하는 공식은 다음과 같습니다.

$n=\cfrac{2\cdot \sigma_d^2 \cdot \left(Z_{\alpha/2}+Z_\beta\right)}{\Delta^2}$

금

$\Delta$

대립 가설의 두 쌍 평균 간의 차이입니다.

$\sigma_d^2$

이는 동일한 개인에 대한 두 측정값 간의 차이의 분산입니다.

저자 소개

벤자민 앤더슨

안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기