확률의 공리

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 1, 2023 분류되지 않음 댓글 0개

이 기사에서는 확률의 공리가 무엇인지 설명합니다. 따라서 확률의 공리적 정의, 확률의 다양한 공리 및 적용 예를 찾을 수 있습니다.

확률의 3가지 공리는 무엇입니까?

확률의 공리는 다음과 같습니다.

확률 공리 1 : 사건의 확률은 음수가 될 수 없습니다.
확률 공리 2 : 특정 사건이 발생할 확률은 1입니다.
확률 공리 3 : 배타적 사건 집합의 확률은 모든 확률의 합과 같습니다.

확률의 세 가지 공리는 1933년 러시아 수학자에 의해 공식화되었기 때문에 콜모고로프 공리 라고도 알려져 있습니다.

각 유형의 확률 공리는 아래에서 더 자세히 설명됩니다.

공리 1

확률의 첫 번째 공리는 어떤 사건이 발생할 확률은 음수가 될 수 없으므로 그 값은 0과 1 사이에 있다고 말합니다.

$0\leq P(A)\leq 1$

어떤 사건이 일어날 확률이 0이라는 것은 그 사건이 일어날 수 없다는 뜻이다. 반면, 어떤 사건이 일어날 확률이 1이라면, 그 사건이 반드시 일어날 것이라는 뜻이다. 따라서 사건의 확률 값이 높을수록 해당 사건이 발생할 확률이 높아집니다.

공리 2

확률의 두 번째 공리는 특정 사건이 발생할 확률은 1과 같다는 것입니다.

$P(\Omega)=1$

특정 사건은 항상 발생하는 무작위 경험의 결과입니다. 따라서 안전한 사건은 무작위 실험의 표본 공간으로 정의될 수도 있습니다.

➤ 참고: 안전한 이벤트

공리 3

확률의 세 번째 공리는 일련의 배타적인 사건이 주어졌을 때 모든 사건의 결합 확률은 모든 발생 확률의 합과 동일하다는 것을 나타냅니다.

$A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

동시에 발생할 수 없는 두 개 이상의 이벤트는 배타적입니다. 따라서 결합 확률을 계산할 때 두 가지가 동시에 발생할 확률을 고려할 필요는 없습니다.

➤ 참조: 이벤트 제외

확률 공리의 예

예를 들어, 아래에서는 주사위를 굴리는 실험의 여러 결과를 분석하여 확률 공리가 충족되는지 확인할 수 있습니다.

주사위를 굴릴 때 가능한 결과는 다음과 같이 6가지입니다.

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

이 경우 모든 결과의 확률은 동일하므로 각 결과가 발생할 확률을 결정하려면 결과의 확률만 구하면 됩니다. 따라서 Laplace 규칙 공식을 적용하여 가능한 각 결과의 확률을 계산합니다.

$P(\text{cualquier n\'umero})=\cfrac{1}{6}=0,167$

그러면 각 결과를 얻을 확률은 양수이므로 확률의 첫 번째 공리는 만족됩니다.

이제 두 번째 공리를 확인해 보겠습니다. 이 경우 특정 이벤트는 “1에서 6까지의 숫자를 얻습니다”. 따라서 각 결과를 얻을 확률을 추가합니다.

$\begin{array}{l}P(\text{n\'umero del 1 al 6})=\\[2ex]=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=\\[2ex]=0,167+0,167+0,167+0,167+0,167+0,167=\\[2ex]=1\end{array}$

따라서 특정 사건의 확률은 1과 같으므로 확률의 두 번째 공리도 충족됩니다.

마지막으로, 세 번째 확률 공리를 검증하는 일만 남았습니다. 주사위를 굴려 얻을 수 있는 다양한 결과는 상호 배타적입니다. 예를 들어 2를 굴리면 더 이상 5를 얻을 수 없기 때문입니다. 따라서 두 숫자를 얻기 위한 계산은 두 가지 방법으로 수행할 수 있습니다. 라플라스의 규칙 또는 각 결과의 확률을 추가합니다.

$P(2 \text{ o } 5)=\cfrac{2}{6}=0,33$