추정 간격

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 3, 2023 통계 댓글 0개

이 기사에서는 통계에서 간격 추정이 무엇인지 설명합니다. 또한 구간 추정이 수행되는 방법과 구간 추정이 점 추정과 어떻게 다른지 학습합니다.

간격 추정이란 무엇입니까?

통계에서 구간추정은 구간을 이용하여 모집단 모수의 값을 추정하는 과정이다. 보다 정확하게는 구간 추정에는 특정 신뢰도 수준 에서 모수 값이 발견될 가능성이 가장 높은 구간을 계산하는 작업이 포함됩니다.

예를 들어, 구간 추정에서 모집단 평균의 신뢰 구간이 (3.7)이고 신뢰 수준이 95%라는 결론에 도달하면 이는 연구 대상 모집단의 평균이 3에서 7 사이가 되며 다음을 의미합니다. 확률은 95%.

일반적으로 모집단의 규모는 모든 개인을 연구하기에는 너무 크기 때문에 통계적 측정 값은 확실하게 알 수 없으며 오히려 대략적인 값을 알 수 있습니다.

따라서 간격 추정은 표본 데이터를 기반으로 모집단 매개변수가 있는 값 범위의 근사치를 제공하는 데 사용됩니다. 이러한 방식으로 모집단 매개변수의 값은 표본에서 연구된 데이터로부터 추정될 수 있습니다.

마지막으로 구간 추정의 의미를 완전히 이해하려면 신뢰 구간의 개념을 명확히 해야 합니다. 신뢰 구간은 모집단 매개변수 값 사이에 있는 값의 근사치를 오차 한계와 함께 제공하는 구간입니다. 따라서 신뢰 구간은 구간 추정에서 얻은 결과입니다.

➤ 참고: 신뢰 구간이란 무엇입니까?

구간 추정 공식

아래에서는 신뢰 구간을 추정하기 위한 다양한 공식을 찾을 수 있습니다. 평균, 분산 또는 비율에 대한 신뢰 구간을 추정할지 여부에 따라 사용할 공식이 다르기 때문입니다.

평균에 대한 신뢰구간

변수를 입력하는 과정이 다음과 같다고 가정합니다.

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

평균에 대한 신뢰 구간은 표본 평균에서 Z _α/2 의 값에 표준 편차(σ)를 곱하고 표본 크기(n)의 제곱근으로 나누어 더하고 빼서 계산됩니다. 따라서 평균의 신뢰구간을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

표본 크기가 크고 95% 신뢰 수준의 경우 임계값은 Z _α/2 = 1.96이고 99% 신뢰 수준의 경우 임계값은 Z _α/2 = 2.576입니다.

위의 공식은 모집단 분산이 알려진 경우에 사용됩니다. 그러나 가장 일반적인 경우인 모집단 분산을 알 수 없는 경우 평균에 대한 신뢰 구간은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

금:

$\overline{x}$

샘플 수단입니다.
$t_{\alpha/2}$

는 확률이 α/2인 n-1 자유도의 스튜던트 t 분포 값입니다.
$s$

표본 표준편차입니다.
$n$

표본 크기입니다.

➤ 참고: 평균에 대한 신뢰 구간 계산의 실제 예

분산에 대한 신뢰 구간

모집단 분산에 대한 신뢰 구간을 계산하려면 카이제곱 분포가 사용됩니다. 보다 구체적으로 분산에 대한 신뢰 구간을 계산하는 공식은 다음 과 같습니다.

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

금:

$n$

표본 크기입니다.
$s$

표본 표준편차입니다.
$\chi_{n-1;\alpha/2}$

α/2보다 작은 확률에 대해 자유도가 n-1인 카이 제곱 분포의 값입니다.
$\chi_{n-1;1-\alpha/2}$

1-α/2보다 큰 확률에 대해 자유도가 n-1인 카이 제곱 분포의 값입니다.

➤ 참고: 분산에 대한 신뢰 구간 계산의 실제 예

비율에 대한 신뢰 구간

비율에 대한 신뢰 구간은 Z _α/2 값에 표본 비율(p)의 제곱근을 곱하고 1-p를 곱하고 표본 크기(n)로 나눈 값을 표본 비율에서 더하고 빼서 계산됩니다. 따라서 비율에 대한 신뢰 구간을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)$

금:

$p$

표본 비율입니다.
$n$

표본 크기입니다.
$Z_{\alpha/2}$

는 α/2의 확률에 해당하는 표준 정규 분포의 분위수입니다. 표본 크기가 크고 95% 신뢰 수준의 경우 일반적으로 1.96에 가깝고 99% 신뢰 수준의 경우 일반적으로 2.576에 가깝습니다.

➤ 참고: 비율에 대한 신뢰 구간 계산의 실제 예

간격 추정 및 점 추정

마지막으로, 모집단 매개변수의 값은 간격(‘기사 전체에서 본 것처럼) 또는 점 값을 사용하여 추정할 수 있으므로 구간 추정과 점 추정의 차이점이 무엇인지 살펴보겠습니다.

구간 추정과 점 추정의 차이점은 모수 추정에 사용되는 값의 범위입니다. 구간 추정에서는 모수를 신뢰 구간에 근사하고, 점 추정에서는 모수를 특정 값에 근사합니다.

따라서 점 추정에서는 표본 데이터로부터 계산된 단일 값을 모집단 모수 값의 근사치로 간주합니다. 예를 들어, 모집단 평균은 표본 평균을 사용하여 정확하게 추정할 수 있습니다.

따라서 점 추정은 구간 추정에 비해 장단점이 있으므로 각 유형의 추정이 주어진 상황에서 사용하기에 적합합니다. 자세한 내용을 알아보려면 다음 링크를 클릭하세요.

➤ 참고: 포인트 추정이란 무엇입니까?

저자 소개

벤자민 앤더슨

안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기