기하학적 수단

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 6, 2023 통계 댓글 0개

이 기사에서는 기하 평균이 무엇인지, 어떻게 계산되는지, 기하 평균과 산술 평균의 차이점에 대해 설명합니다. 또한 기하 평균의 해결 방법과 이러한 평균 유형의 속성이 무엇인지 단계별로 확인할 수 있습니다. 마지막으로, 모든 데이터 세트의 기하 평균을 계산하는 계산기를 찾을 수 있습니다.

기하평균이 무엇인가요?

기하 평균은 기술 통계의 중심성을 측정한 것입니다. 일련의 통계 데이터의 기하 평균은 모든 값의 곱의 n제곱근과 같습니다.

기하 평균은 기업 금융에서 수익률, 평균 백분율 및 복리 이자를 계산하는 데 사용됩니다.

따라서 기하 평균의 공식은 다음과 같습니다.

기하 평균은 표본의 모든 데이터가 양수인 경우에만 계산할 수 있습니다. 값이 음수이면 근은 음수 해를 가지거나 해가 없습니다. 반면에 데이터가 0이면 데이터의 곱셈은 0이 되고 따라서 기하 평균은 0이 됩니다.

기하평균만이 존재하는 것이 아니고, 산술평균, 가중평균, 제곱평균, 조화평균도 있습니다.

기하 평균과 산술 평균의 차이

기하 평균과 산술 평균의 주요 차이점은 기하 평균이 산술 평균보다 극단값에 덜 민감하다는 것입니다. 또한 산술 평균은 음수 값과 0 값으로 계산할 수 있는 반면, 기하 평균은 양수 값으로만 계산할 수 있습니다.

마찬가지로, 기하 평균은 일반적으로 동일한 데이터 세트에 대한 산술 평균보다 낮습니다.

또한 기하 평균의 계산은 더 복잡하므로 통계적 유의성을 해석하기가 더 어렵다는 점에 유의해야 합니다.

간단히 말해서, 기하평균은 산술평균에 비해 장단점이 있으며, 데이터의 성격에 따라 이 평균, 저 평균을 계산하는 것이 적절할 것입니다.

기하 평균을 계산하는 방법

기하 평균을 계산하려면 다음 단계를 수행해야 합니다.

샘플의 모든 통계 데이터의 곱을 계산합니다.
계산된 곱의 n제곱근을 구합니다.
얻은 결과는 통계 표본의 기하 평균입니다.

보시다시피, 곱과 근만 계산하면 되기 때문에 계산기나 컴퓨터 프로그램을 사용하면 일련의 데이터의 기하 평균을 찾는 것이 상대적으로 간단합니다. 그에 비해 손으로 계산하는 것은 꽤 힘든 일이다.

👉 이것이 바로 데이터 세트의 기하 평균을 계산할 때 아래 계산기를 사용하는 것이 좋습니다.

기하평균 예

기하 평균에 대한 이론을 살펴본 후에는 기하 평균을 구하는 방법을 정확히 알 수 있도록 예를 들어보겠습니다.

지난 5년간 회사의 경제적 결과는 알려져 있습니다. 첫 해에 회사는 10%의 경제적 수익성을 달성했고, 두 번째 해에는 이윤이 23%, 세 번째 해에는 벌어들인 돈이 16%, 네 번째 해에는 7%의 경제적 수익성을 달성했으며, 투자 비용도 5년차에는 20%의 수익률을 기록했습니다. 모든 백분율의 평균을 계산하라는 메시지가 표시됩니다.

앞서 살펴본 바와 같이 백분율의 평균을 계산하려면 산술 평균을 사용하지 말고 기하 평균을 사용하여 계산해야 합니다.

따라서 우리는 기하 평균 공식을 적용합니다.

$MG=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^Nx_i}=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \ldots x_n}$

그리고 예제 값을 공식에 대체하고 계산을 수행합니다.

$MG=\sqrt[5]{1,10\cdot 1,23\cdot 1,16\cdot 1,07\cdot 1,20}=1,15 \ \longrightarrow \ 15 \%$

5개의 데이터 포인트가 있으므로 5번째 근을 계산하고 있습니다.

기하평균의 수치 결과는 1.15로, 이는 해당 기업이 매년 평균 15%의 경제성장을 경험했다는 것을 의미합니다.

모든 값이 양수였기 때문에 기하 평균을 얻을 수 있었지만, 백분율이 음수였다면 데이터를 정수 부분이 포함된 양의 소수로 공식에 넣어야 했을 것입니다. 0과 같습니다. 예를 들어, -30% 성장은 공식에서 0.70(1-0.3=0.7)으로 표현되어야 합니다.

기하평균 계산기

샘플 통계를 아래 계산기에 연결하여 기하 평균을 찾으세요. 데이터는 공백으로 구분해야 하며 소수점 구분 기호로 마침표를 사용하여 입력해야 합니다. 값이 음수이거나 0이면 기하 평균을 결정할 수 없다는 점을 기억하십시오.

기하평균의 성질

기하평균은 다음과 같은 특징을 가지고 있습니다.

이는 백분율이나 지수의 평균을 찾는 데 매우 유용한 평균 유형입니다.

모든 데이터가 양수인 경우에만 계산할 수 있습니다.

두 숫자 a 와 b 의 기하 평균의 기하학적 의미는 변이 a 와 b를 측정하는 직사각형과 동일한 면적을 갖는 정사각형의 변입니다.

$MG(a,b)=\sqrt{a\cdot b}$

세 숫자 a , b 및 c 의 기하 평균의 기하학적 의미는 부피가 a , b 및 c 측면의 평행육면체와 동일한 입방체의 측면입니다.

$MG(a,b,c)=\sqrt[3]{a\cdot b \cdot c}$

데이터 세트의 기하 평균의 로그는 동일한 세트의 로그의 산술 평균을 제공합니다.

값 집합의 기하 평균은 항상 산술 평균보다 작거나 같습니다.

$\sqrt[N]{x_1\cdot x_2\ldots x_N}\leq \cfrac{x_1+x_2+\ldots+x_N}{N}$

가중기하평균은 기하평균과 동일한 방법으로 계산되나, 각 데이터 항목의 지수에 가중치를 더하여 통계값에 가중치를 부여하는 방식으로 계산됩니다.

$\displaystyle \left(\prod_{i=1}^n{x_i}^{\alpha_i}\right)^{\frac{1}{\sum_i{\alpha_i}}}= \left({x_1}^{\alpha_1}{x_2}^{\alpha_2}\dots{x_n}^{\alpha_n}\right)^{ \frac{1}{\alpha_1+ \dots+ \alpha_n}} \left}}$

Excel에서 기하 평균 계산

마지막으로 Excel 프로그램을 사용하여 데이터 세트의 기하 평균을 구하는 방법을 살펴보겠습니다.

Excel에서 기하 평균을 계산 하려면 MEANS.GEOM 함수를 사용해야 합니다. 기하 평균을 구하려는 모든 값을 입력하기만 하면 함수가 기하 평균 결과를 반환합니다.

예를 들어 위에서 작업한 예의 기하 평균을 결정하려면 Excel 상자 =MEDIA.GEOM(1.1;1.23;1.16;1.07;1.20) 에 작성해야 합니다.

값 중 하나라도 0이거나 음수이면 함수는 오류를 반환한다는 점을 명심해야 합니다.

보시다시피 Excel을 사용하여 기하 평균을 계산하는 것이 훨씬 더 간단하고 빠릅니다. 데이터를 시트에 복사하고 수식을 사용하기만 하면 되기 때문입니다.

저자 소개

벤자민 앤더슨

안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기