밀도 함수

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 5, 2023 개연성 댓글 0개

이 기사에서는 밀도 함수가 무엇인지, 밀도 함수에서 확률을 계산하는 방법 및 이 확률 함수의 특성을 알아봅니다. 또한 밀도 함수와 분포 함수의 차이점을 확인할 수 있습니다.

밀도 함수란 무엇입니까?

확률 밀도 함수 라고도 하는 밀도 함수는 연속 확률 변수가 특정 값을 취할 확률을 설명하는 수학 함수입니다.

즉, 변수와 관련된 밀도 함수는 변수가 값을 취할 확률을 수학적으로 정의합니다.

예를 들어 인구 중 성인의 키가 1.80m를 초과할 확률이 35%라고 가정하면 해당 확률을 계산할 때 밀도 함수는 35%의 확률을 나타냅니다.

확률밀도함수는 PDF로 축약되기도 합니다.

밀도 함수를 사용하여 확률 계산

연속형 변수가 구간에서 값을 취할 확률을 찾으려면 구간 한계 사이에서 해당 변수와 연관된 밀도 함수의 적분을 계산해야 합니다.

$\displaystyle P[a\leq X\leq b]=\int_a^b f(x)dx$

금

$f(x)$

연속 확률 변수의 밀도 함수입니다.

즉, 변수가 구간에서 값을 취할 확률은 해당 구간의 밀도 함수 아래 면적과 동일합니다.

확률 계산은 통계 변수가 정규 분포, 지수 분포, 포아송 분포 등과 같은 연속 분포를 따르는 경우에만 이러한 방식으로 수행될 수 있습니다.

밀도 함수의 속성

밀도 함수에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

밀도 함수의 값은 모든 x 값에 대해 0이거나 양수입니다.

$f(x)\geq 0$

또한 밀도 함수의 최대값은 1입니다.

$f(x)\leq 1$

실제로 밀도함수 그래프 아래의 전체 면적은 모든 확률의 집합에 해당하므로 변수에 상관없이 항상 1과 같습니다.

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=1$

이전 섹션에서 설명했듯이 연속형 변수가 구간에서 값을 취할 확률은 해당 구간의 밀도 함수를 적분하여 계산됩니다.

$\displaystyle P[a\leq X\leq b]=\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$

밀도함수와 분포함수

이 마지막 섹션에서는 밀도 함수와 분포 함수가 일반적으로 혼동되는 두 가지 유형의 확률 함수이기 때문에 어떻게 다른지 살펴보겠습니다.

수학적으로 분포 함수는 밀도 함수의 적분과 동일하므로 분포 함수는 연속 변수의 누적 확률을 설명합니다.

즉, 임의의 값에 대한 분포 함수의 이미지는 변수가 해당 값 또는 더 낮은 값을 취할 확률과 같습니다.

따라서 이 두 가지 유형의 함수 사이의 수학적 관계는 다음과 같습니다.

$\displaystyle P[X\leq a]=\int_{-\infty}^a f(x)dx=F(a)$

금

$f(x)$

밀도 함수이고

$F(x)$

분포함수이다.

밀도 함수의 그래픽 표현이 평균이 1이고 표준 편차가 0.5인 정규 분포를 따르는 변수의 분포 함수에 비해 어떻게 변경되는지 확인하세요.

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➤ 참조: 분포 함수

저자 소개

벤자민 앤더슨

안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기