비율 차이의 샘플링 분포

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 3, 2023 통계 댓글 0개

이 글에서는 비율표본분포의 차이가 무엇인지, 통계에서 어떤 용도로 사용되는지 설명합니다. 비율의 차이 샘플링 분포 공식과 단계별 해결 연습도 제시됩니다.

비율 차이의 샘플링 분포는 무엇입니까?

비율 표본 추출 분포의 차이는 서로 다른 두 모집단에서 추출한 가능한 모든 표본의 표본 추출 비율 간의 차이를 계산하여 얻은 분포입니다.

즉, 비율 차이의 표본분포를 구하는 과정은 먼저 서로 다른 두 모집단에서 가능한 모든 표본을 추출하고, 두 번째로 추출된 각 표본의 비율을 구하고, 마지막으로 전체 표본 간의 차이를 구하는 과정이다. 비율의 차이의 비율. 두 개의 인구. 따라서 이러한 작업을 수행한 후 얻은 결과 집합은 비율 차이의 샘플링 분포를 형성합니다.

통계에서는 무작위로 선택된 두 표본의 표본 비율 차이가 모집단 비율 의 차이에 가까울 확률을 계산하기 위해 표본 추출 분포 비율의 차이를 사용합니다.

➤ 참고: 비례표본 할당

비율 차이의 샘플링 분포 공식

비율 표본 추출 분포의 차이를 위해 선택된 표본은 이항 분포 로 정의됩니다. 왜냐하면 실용적인 목적으로 비율은 전체 관측치 수에 대한 성공적인 사례의 비율이기 때문입니다.

그럼에도 불구하고 중심 극한 정리로 인해 이항 분포는 정규 확률 분포 에 근접할 수 있습니다. 따라서 비율 차이의 표본분포는 다음과 같은 특징을 갖는 정규분포에 근접할 수 있습니다.

$\begin{array}{c}\displaystyle\mu_{\widehat{p_1}-\widehat{p_2}}=p_1-p_2 \qquad \sigma_{\widehat{p_1}-\widehat{p_2}}=\sqrt{\frac{p_1q_1}{n_1}+\frac{p_2q_2}{n_2}}\\[6ex]\displaystyle N_{p}\left(p_1-p_2, \sqrt{\frac{p_1q_1}{n_1}+\frac{p_2q_2}{n_2}}\right) \end{array}$

참고: 비율 차이의 샘플링 분포는 다음과 같은 경우에만 정규 분포에 근접할 수 있습니다.

$n_1\geq30$

$n_2\geq 30$

$n_1p_1\geq5$

$n_2p_2\geq5$

$n_1q_1\geq5$

그리고

$n_2q_2\geq5$

따라서 비율차의 표본분포는 정규분포에 근접할 수 있으므로 비율차의 표본분포 통계량을 계산하는 공식은 다음과 같다.

$Z=\cfrac{(\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{p_1q_1}{n_1}+\frac{p_2q_2}{n_2}}}$

금:

$\widehat{p_i}$

표본 비율 i입니다.
$p_i$

인구 i의 비율입니다.
$q_i$

모집단 i의 실패 확률은 다음과 같습니다.

$q_i=1-p_i$

.
$n_i$

표본 크기는 i입니다.
$Z$

는 표준 정규 분포 N(0,1)에 의해 정의되는 변수입니다.

이 공식은 비율 차이에 대한 가설 검정 공식과 유사합니다.

비율차의 표본분포의 구체적인 예

비율차 표본분포의 정의와 그 공식이 무엇인지 확인한 후, 아래에서 단계별로 해결된 예를 확인하여 개념 이해를 완료할 수 있습니다.

두 생산 공장의 정확도를 분석하려고 합니다. 한 공장에서는 생산된 부품의 5%에만 결함이 있는 반면 다른 공장에서는 결함 부품 비율이 8%인 방식으로 생산합니다. 첫 번째 공장에서 200개 부품 샘플을 채취하고 두 번째 공장에서 280개 부품 샘플을 추출하면 첫 번째 생산 공장의 결함 비율이 두 번째 공장의 결함 비율보다 클 확률은 얼마입니까? 생산?

문제의 모든 데이터를 파악하기 위해 먼저 각 공장에서 잘 생산된 부품의 비율을 계산합니다.

$\begin{array}{c}q_1=1-p_1=1-0,05=0,95\\[2ex]q_2=1-p_2=1-0,08=0,92\end{array}$

첫 번째 공장의 불량률이 두 번째 공장의 불량률보다 크다면 이는 다음 방정식이 성립함을 의미합니다.

$\widehat{p_1}-\widehat{p_2}>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”18″ width=”89″ style=”vertical-align: -4px;”> 따라서 비율 차이의 샘플링 분포 확률을 결정하려면 위 섹션에서 설명한 공식을 적용해야 합니다. <p class=$ $Z=\cfrac{(\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{p_1q_1}{n_1}+\frac{p_2q_2}{n_2}}}=\cfrac{0-(0,05-0,08)}{\displaystyle\sqrt{\frac{0,05\cdot 0,95}{200}+\frac{0,08\cdot 0,92}{280}}}=1,34$

따라서 첫 번째 공장의 불량률이 두 번째 공장의 불량률보다 클 확률은 변수 Z가 1.34보다 클 확률과 동일합니다.

$P[(\widehat{p_1}-\widehat{p_2})>0]=P[Z>1,34]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”242″ style=”vertical-align: -5px;”> 마지막으로 <a href=$ 정규 분포표 에서 해당 확률을 찾으면 이미 문제를 해결했을 것입니다.

$P[(\widehat{p_1}-\widehat{p_2})>0]=P[Z>1,34]=0,0901″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”319″ style=”vertical-align: -5px;”> 즉, 첫 번째 공장의 불량률이 두 번째 공장의 불량률보다 클 확률은 9.01%입니다. <div style=$ ➤ 참고: 평균 차이의 표본 분포

저자 소개

벤자민 앤더슨

안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기

비율 차이의 샘플링 분포는 무엇입니까?

비율 차이의 샘플링 분포 공식

비율차의 표본분포의 구체적인 예

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벤자민 앤더슨

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