사건의 교차 확률

이 문서에서는 사건의 교차 확률을 계산하는 방법을 설명합니다. 따라서 사건의 교차 확률에 대한 공식이 무엇인지 알아보고, 단계별로 해결되는 연습 문제도 알아보세요.

사건의 교차점은 무엇입니까?

확률 이론에서 사건의 교차는 결과가 연산의 모든 사건에 공통적인 기본 사건으로 구성되는 사건의 연산입니다. 즉, 사건 A와 B의 교차점은 동시에 A와 B에 속하는 모든 사건에 의해 형성됩니다.

두 사건의 교차점은 기호 ⋂로 표현됩니다. 따라서 사건 A와 B의 교차점은 A⋂B로 표시됩니다.

예를 들어, 주사위를 굴리는 무작위 실험에서 짝수가 굴리는 사건이 A={2, 4, 6}이고, 3보다 큰 숫자가 굴리는 사건이 B={4, 5, 6 }에서 두 사건의 교집합은 A⋂B={4, 6}입니다.

사건의 교차 확률 공식

두 사건의 교차 확률은 한 사건이 발생할 확률에 첫 번째 사건이 주어졌을 때 다른 사건이 발생할 조건부 확률을 곱한 것과 같습니다.

따라서 두 사건의 교차 확률 공식은 P(A⋂B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B)입니다.

금:

• 

  그리고

  

  이는 두 가지 종속 이벤트입니다.

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  사건 A와 사건 B가 교차할 확률이다.

• 

  사건 A가 일어날 확률이다.

• 

  사건 A가 주어졌을 때 사건 B가 발생할 조건부 확률입니다.

• 

  사건 B가 일어날 확률이다.

• 

  사건 B가 주어졌을 때 사건 A가 발생할 조건부 확률입니다.

그러나 두 사건이 독립적인 경우 이는 한 사건이 발생할 확률이 다른 사건이 발생하는지 여부에 의존하지 않음을 의미합니다. 따라서 두 독립 사건의 교차 확률 공식은 다음과 같습니다.

금:

• 

  그리고

  

  이는 두 개의 독립적인 사건입니다.

• 

  사건 A와 사건 B가 교차할 확률이다.

• 

  사건 A가 일어날 확률이다.

• 

  사건 B가 일어날 확률이다.

사건 교차 확률의 실제 사례

다음으로, 두 사건의 교차 확률이 어떻게 계산되는지 확인할 수 있도록 단계별로 해결된 두 가지 예를 남겨보겠습니다. 먼저 두 개의 독립 이벤트와 두 개의 종속 이벤트가 교차하는 예를 살펴보므로 두 경우를 모두 볼 수 있습니다.

두 개의 독립 사건이 교차할 확률

• 연속으로 세 번 추첨이 시작됩니다. 세 번 던져 모두 앞면이 나올 확률을 구해 보세요.

이 경우, 공동 확률을 계산하려는 이벤트는 독립적입니다. 왜냐하면 추첨 결과는 이전 추첨에서 얻은 결과에 의존하지 않기 때문입니다. 따라서 세 번 연속 앞면이 나올 확률을 결정하려면 독립 사건에 대한 교차 확률 공식을 사용해야 합니다.

제비를 뽑을 때 가능한 결과는 두 가지뿐입니다. 앞면이 나오거나 뒷면이 나올 수 있습니다. 따라서 동전을 던질 때 앞면이 나오거나 뒷면이 나올 확률은 다음과 같습니다.

따라서 세 번의 동전 던지기에서 모두 앞면이 나올 확률을 찾으려면 앞면이 나올 확률에 3을 곱해야 합니다.

즉, 3번 연속 앞면이 나올 확률은 12.5%입니다.

두 종속 사건의 교차 확률

• 빈 상자에 파란색 공 8개, 주황색 공 4개, 녹색 공 2개를 넣습니다. 첫 번째 공을 상자에 다시 넣지 않고 먼저 공 하나를 뽑은 다음 다른 공을 뽑는 경우 첫 번째 공이 파란색이고 두 번째 공이 주황색일 확률은 얼마입니까?

이 경우 이벤트는 종속적입니다. 두 번째 추첨에서 주황색 공을 집어들 확률은 첫 번째 추첨에서 추첨된 공의 색상에 따라 달라지기 때문입니다. 따라서 문제가 우리에게 요구하는 확률을 계산하려면 종속 사건에 대한 교차 확률 공식을 사용해야 합니다.

첫 번째 추첨에서 파란색 공을 얻을 확률은 쉽게 결정할 수 있습니다. 간단히 파란색 공의 수를 총 공 수로 나누면 됩니다.

반면, 파란색 공을 가져온 후 주황색 공을 뽑을 확률은 주황색 공의 개수가 다르고 상자 안에 공이 하나 적기 때문에 다르게 계산됩니다.

따라서 파란색 공을 먼저 뽑은 다음 주황색 공을 뽑을 확률은 위에서 찾은 두 확률을 곱하여 계산됩니다.

이벤트 교차 속성

확률 이론에서 사건의 교차점은 다음과 같은 속성을 갖습니다.

• 교환 속성: 교차 이벤트의 순서는 연산 결과를 변경하지 않습니다.

• 연관 속성: 세 사건의 교차점은 결과가 동일하므로 순서에 관계없이 계산할 수 있습니다.

• 분배 속성: 사건의 교차점은 사건의 합집합에서 분배 속성을 충족합니다.