산술평균

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 6, 2023 통계 댓글 0개

여기에서는 산술 평균이 무엇인지, 어떻게 계산하는지 설명합니다. 산술 평균 예는 물론 통계 표본의 산술 평균을 구하는 계산기도 찾을 수 있습니다. 마지막으로 이러한 유형의 평균의 속성이 무엇인지, 데이터를 간격으로 그룹화하여 산술 평균을 얻는 방법을 확인할 수 있습니다.

산술 평균이 무엇인가요?

산술 평균은 일련의 통계 데이터의 중심 값 특성입니다. 산술 평균을 계산하려면 모든 값을 더하고 전체 데이터 수로 나눕니다.

또한 산술 평균은 표본에 대한 통계적 연구를 수행하는 데 사용되는 주요 지표 중 하나입니다.

따라서 산술 평균의 공식은 다음과 같습니다.

산술 평균의 기호는 문자 x 위의 수평 띠입니다.

$(\overline{x}).$

평균 기호를 사용하여 모집단 평균과 표본 평균을 구별할 수도 있습니다. 표본 평균은 기호로 표현됩니다.

$\overline{x}$

반면, 인구 평균의 경우 그리스 문자를 사용합니다.

$\mu.$

모집단의 산술 평균은 통계 변수의 기대값과 동일하다는 점에 유의해야 합니다.

산술 평균이라고도 하는 산술 평균은 존재하는 유일한 유형의 평균이 아니라 가중 평균, 제곱 평균, 기하 평균 및 조화 평균 등도 있습니다. 당사 웹사이트의 검색 엔진에서 각각이 어떻게 계산되는지 확인할 수 있습니다.

산술 평균을 계산하는 방법

산술 평균을 계산하려면 다음 단계를 수행해야 합니다.

샘플의 모든 통계 데이터를 추가합니다.
이전 합계를 총 데이터 수로 나눕니다.
얻은 결과는 통계 표본의 산술 평균입니다.

👉 아래 계산기를 사용하여 모든 데이터 세트의 산술 평균을 계산할 수 있습니다.

산술 평균 계산의 예

산술 평균의 정의가 주어지면 예제를 단계별로 풀어서 일련의 데이터의 산술 평균을 구하는 방법을 살펴보겠습니다.

학생은 학년도 동안 수학 9점, 언어 7점, 역사 6점, 경제 8점, 과학 7.5점을 받았습니다. 당신의 모든 성적의 산술 평균은 얼마입니까?

산술 평균을 찾으려면 모든 성적을 더한 다음 해당 과정의 총 과목 수인 5로 나누어야 합니다. 따라서 산술 평균 공식을 적용합니다.

$\displaystyle\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{N}$

데이터를 공식에 대체하고 산술 평균을 계산합니다.

$\overline{x}=\cfrac{9+7+5+8+7,5}{5}=7,3$

보시다시피, 산술 평균에서는 각 값에 동일한 가중치가 부여됩니다. 즉, 각 데이터 조각은 전체 내에서 동일한 가중치를 갖습니다.

산술 평균 계산기

통계 샘플의 데이터를 다음 계산기에 입력하여 산술 평균을 계산합니다. 데이터는 공백으로 구분해야 하며 소수점 구분 기호로 마침표를 사용하여 입력해야 합니다.

그룹화된 데이터의 산술 평균

그룹화된 데이터는 데이터가 그룹 또는 간격으로 구성되어 있음을 의미합니다. 이는 일반적으로 통계적 표본 크기가 매우 클 때 발생합니다.

그래서 같은 개념이라도 데이터를 그룹화하면 산술평균의 계산 방식이 조금씩 달라집니다.

간격으로 그룹화된 데이터의 산술 평균을 계산 하려면 각 그룹의 클래스 점수에 절대 빈도를 곱한 다음 모든 절대 빈도의 합으로 나누어야 합니다.

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^N x_i\cdot f_i}{\sum_{i=1}^N f_i} =\frac{x_1\cdot f_1+ x_2\cdot f_2+\dots +x_N\cdot f_N}{N}$

참고: 구간의 클래스 점수는 구간의 끝점 합계를 2로 나누어 계산됩니다. 예를 들어 간격 [3,7)의 클래스 노트는 다음과 같습니다.

$\cfrac{3+7}{2}=5$

이것이 어떻게 수행되는지 볼 수 있도록 다음은 간격으로 그룹화된 데이터의 산술 평균에 대한 해결 연습입니다.

우리는 그룹의 가중치를 통계적으로 연구하고 싶습니다. 이를 위해 81명의 대표 그룹을 인터뷰하여 다음 데이터를 얻었습니다.

여기서 x _i 는 각 그룹의 학급 점수이고 f _i 는 절대 빈도, 즉 이 간격에 가중치를 갖는 사람의 수입니다.

산술 평균을 결정하려면 각 절대 빈도에 따른 클래스 노트의 곱인 빈도 테이블에 열을 추가해야 합니다.

따라서 그룹화된 데이터의 산술 평균을 계산하려면 클래스 노트 제품의 합계를 해당 빈도로 총 데이터 수로 나누면 됩니다.

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^N x_i\cdot f_i}{\sum_{i=1}^N f_i} =\frac{4985}{81}=61,54 \text{ kg}$

산술 평균의 속성

산술 평균에는 다음과 같은 특징이 있습니다.

분포에 있는 모든 데이터의 평균과의 편차의 합은 0이 됩니다.

$\sum_{i=1}^N\left(x_i-\overline{x}\right)=0$

표본의 모든 데이터에 동일한 양을 더하면 표본 평균은 그 양만큼 증가합니다.

곱셈에서도 같은 일이 발생합니다. 표본의 모든 값에 숫자를 곱하면 표본 평균에 해당 숫자가 곱해집니다.

산술 평균은 양적 변수 로만 계산할 수 있습니다. 즉, 질적 변수의 평균을 구할 수 없습니다.

산술 평균은 항상 분포의 최소값과 최대값 사이의 값입니다.

$\text{min}\{x_1,x_2,...,x_N\}\leq \cfrac{x_1+\dots +x_N}{N}\leq \text{max}\{x_1,x_2,...,x_N\}$

이 유형의 평균은 매우 높거나 매우 낮은 값에 매우 민감하므로 이상치가 산술 평균의 결과를 크게 변경하게 됩니다.

데이터 세트의 산술 평균은 항상 동일한 데이터 세트의 기하 평균보다 크거나 같습니다.

$\displaystyle\frac{x_1+x_2+\dots+x_N}{N}\geq \sqrt[N]{x_1+x_2+\dots+x_N}$

Excel로 산술 평균 계산

Excel에서 산술 평균을 계산하는 것은 매우 간단합니다. 시트에 데이터를 입력하고 AVERAGE 함수를 사용하기만 하면 되기 때문입니다.

예를 들어, 우리가 설명한 첫 번째 문제에서 나온 데이터의 산술 평균을 결정하려면 모든 데이터를 Excel 문서에 복사하고 셀에 다음 수식을 작성하면 됩니다: =AVERAGE(9;7;5; 8;7 ,5) . 이 함수는 데이터의 산술 평균인 7.3을 반환합니다.

분명히, 특히 표본 크기가 매우 큰 경우 손으로 계산하는 것보다 Excel 프로그램을 사용하여 특정 숫자의 산술 평균을 찾는 것이 훨씬 빠릅니다.

저자 소개

벤자민 앤더슨

안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기