이항 실험: 설명 + 예

이항 실험을 이해하는 것은 이항 분포를 이해하는 첫 번째 단계입니다.

이 튜토리얼에서는 이항 실험을 정의하고 이항 실험 으로 간주되거나 간주되지 않는 실험의 여러 예를 제공합니다.

이항 실험: 정의

이항 실험은 다음과 같은 네 가지 속성을 갖는 실험입니다.

1. 실험은 n 번의 반복 시행으로 구성됩니다. 숫자 n은 임의의 값이 될 수 있습니다. 예를 들어 동전을 100번 던지면 n = 100이 됩니다.

2. 각 시행에는 두 가지 가능한 결과만 있습니다. 우리는 종종 결과를 ‘성공’ 또는 ‘실패’라고 부르지만, ‘성공’은 우리가 기대하는 것의 꼬리표일 뿐입니다. 예를 들어, 동전을 던질 때 앞면이 나오면 ‘맞음’, 뒷면이 나오면 ‘실패’라고 말할 수 있습니다.

3. p 로 표시된 성공 확률은 각 시행마다 동일합니다. 실험이 진정한 이항 실험이 되려면 각 시행에서 “성공” 확률이 동일해야 합니다. 예를 들어, 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률(“성공”)은 동전을 던질 때마다 항상 동일합니다.

4. 각 테스트는 독립적입니다 . 이는 단순히 한 재판의 결과가 다른 재판의 결과에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미합니다. 예를 들어, 동전을 던져 앞면이 나왔다고 가정해 보겠습니다. 앞면이 나온다는 사실은 다음 던질 때 앞면이 나올 확률을 바꾸지 않습니다. 각 플립(즉, 각 “시행”)은 독립적입니다.

이항 실험의 예

다음 실험은 모두 이항 실험의 예입니다.

실시예 1

동전을 10번 뒤집습니다. 뒷면이 나온 횟수를 기록합니다.

이는 다음과 같은 네 가지 속성을 갖기 때문에 이항 실험입니다.

• 실험은 n 번의 반복 시행으로 구성됩니다. 이 경우 시도 횟수는 10번입니다.
• 각 시행에는 두 가지 가능한 결과만 있습니다. 동전은 앞면이나 뒷면에만 떨어질 수 있습니다.
• 성공 확률은 각 시행마다 동일합니다 . “성공”을 머리에 착지하는 것으로 정의하면 각 시도에서 성공 확률은 정확히 0.5입니다.
• 각 테스트는 독립적입니다 . 한 번의 추첨 결과는 다른 추첨의 결과에 영향을 미치지 않습니다.

예시 #2

공정한 6면체 주사위를 20번 굴립니다. 2가 나타나는 횟수를 기록하십시오.

이는 다음과 같은 네 가지 속성을 갖기 때문에 이항 실험입니다.

• 실험은 n 번의 반복 시행으로 구성됩니다. 이 경우에는 20번의 시행이 있습니다.
• 각 시행에는 두 가지 가능한 결과만 있습니다. 2를 “성공”으로 정의하면 주사위가 2(성공) 또는 다른 숫자(실패)에 나올 때마다.
• 성공 확률은 각 시행마다 동일합니다 . 각 시행에서 주사위가 2가 나올 확률은 1/6입니다. 이 확률은 시행마다 변하지 않습니다.
• 각 테스트는 독립적입니다 . 주사위 굴림의 결과는 다른 주사위 굴림의 결과에 영향을 미치지 않습니다.

예시 #3

타일러는 자유투 시도의 70%를 성공시킵니다. 그가 15번의 시도를 했다고 가정해보자. 그가 만든 바구니의 수를 기록하십시오.

이는 다음과 같은 네 가지 속성을 갖기 때문에 이항 실험입니다.

• 실험은 n 번의 반복 시행으로 구성됩니다. 이 경우에는 15번의 시행이 있습니다.
• 각 시행에는 두 가지 가능한 결과만 있습니다. 시도할 때마다 Tyler는 바구니를 성공시키거나 놓칩니다.
• 성공 확률은 각 시행마다 동일합니다 . 각 시도에서 타일러가 바구니에 들어갈 확률은 70%입니다. 이 확률은 시행마다 변하지 않습니다.
• 각 테스트는 독립적입니다 . 자유투 시도의 결과는 다른 자유투 시도의 결과에 영향을 미치지 않습니다.

이항 실험이 아닌 예

실시예 1

100명에게 나이가 몇 살인지 물어보세요 .

두 가지 이상의 결과가 나올 수 있으므로 이는 이항 실험이 아닙니다 .

예시 #2

5가 나타날 때까지 공정한 6면체 주사위를 굴립니다.

이는 미리 정의된 시행 횟수 n이 없기 때문에 이항 실험이 아닙니다 . 5가 나타날 때까지 몇 개의 롤이 걸릴지 알 수 없습니다.

예시 #3

카드 덱에서 카드 5장을 뽑습니다.

한 번의 시도 결과(예: 덱에서 특정 카드 뽑기)가 후속 시도의 결과에 영향을 미치기 때문에 이는 이항 실험이 아닙니다 .

이항 실험의 예와 해법

다음 예에서는 이항 실험에 관한 문제를 해결하는 방법을 보여줍니다.

동전을 10번 뒤집습니다. 동전의 앞면이 정확히 7개 나올 확률은 얼마입니까?

이항 실험에서 n번 성공할 확률을 구하려면 다음 공식을 사용해야 합니다.

P(정확히 k 성공) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

금:

• n: 시도 횟수
• k: 성공 횟수
• C: “조합” 기호
• p: 주어진 시행의 성공 확률

이 숫자를 공식에 삽입하면 다음을 얻습니다.

P(7등신) = ₁₀ C ₇ * 0.5 ⁷ * (1-0.5) ^10-7 = (120) * (.0078125) * (.125) = 0.11719 .

따라서 동전이 7번 나올 확률은 0.11719 입니다.