정규 분포

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 3, 2023 개연성 댓글 0개

이 문서에서는 통계에서 정규 분포가 무엇인지 설명합니다. 따라서 정규분포의 정의, 정규분포의 예, 정규분포의 특성이 무엇인지 알아보겠습니다.

정규분포란 무엇인가?

정규 분포는 그래프가 종 모양이고 평균에 대해 대칭인 연속 확률 분포입니다. 통계에서 정규 분포는 매우 다른 특성을 가진 현상을 모델링하는 데 사용되므로 이 분포가 매우 중요합니다.

실제로 통계에서 정규 분포는 모든 확률 분포 중에서 단연 가장 중요한 분포로 간주됩니다. 정규 분포는 수많은 실제 현상을 모델링할 수 있을 뿐만 아니라 다른 유형의 확률 분포를 근사하는 데에도 사용할 수 있기 때문입니다. 배포판. 특정 조건에서.

정규분포의 기호는 대문자 N입니다. 따라서 변수가 정규분포를 따른다는 것을 나타내기 위해 N으로 표시하고 그 산술평균과 표준편차의 값을 괄호 안에 추가합니다.

$X\sim N(\mu,\sigma)$

정규 분포에는 가우스 분포 , 가우스 분포 , 라플라스-가우스 분포 등 다양한 이름이 있습니다.

정규 분포의 예

일반적으로 정규 분포를 따르는 데이터 세트에는 많은 수의 관측치가 포함되어 있으며 매우 일반적인 주제를 다룹니다. 다음은 일반적으로 정규 분포를 사용하여 모델링할 수 있는 통계 샘플의 몇 가지 예입니다.

정규 분포의 예:

코스의 학생 규모.
회사 직원의 IQ.
하루 동안 공장에서 생산된 불량 부품의 수.
해당 강좌의 학생이 시험에서 얻은 성적입니다.
증권 거래소에 상장된 회사의 주식 수익성.

정규분포 그래프

정규 분포가 무엇인지와 이러한 유형의 확률 분포에 대한 몇 가지 예를 살펴본 후 개념을 더 잘 이해하기 위해 그래프가 어떻게 보이는지 살펴보겠습니다.

다음 그래프를 보면, 정규분포의 밀도함수가 산술평균과 표준편차 값에 따라 어떻게 변하는 지를 알 수 있습니다.

산술평균을 중심으로 종 모양을 가지며, 변수가 정규분포를 갖는다면 가장 많이 반복되는 값이 평균이고, 평균 주변의 값이 극단값보다 더 자주 반복된다는 뜻이다. 마찬가지로, 정규 분포의 표준 편차가 클수록 그래픽 표현의 모양이 더 평평해집니다.

반면, 정규 분포의 누적 확률 함수 그래프는 다음 이미지에서 볼 수 있듯이 산술 평균 및 표준 편차 값에 따라 달라집니다.

정규 분포의 밀도 함수와 분포 함수를 사용하면 이 분포와 연결된 확률을 계산할 수 있습니다. 그러나 공식을 사용하는 대신 정규 분포 테이블을 직접 사용할 수 있습니다. 더 빠르기 때문입니다. 다음 링크에서 이 표를 참조할 수 있습니다.

➤ 참고: 정규분포표

정규분포의 특성

정규분포는 다음과 같은 특징을 가지고 있습니다.

정규 분포는 산술 평균(μ)과 표준 편차(σ)라는 두 가지 특성 매개변수에 따라 달라집니다.

$X\sim N(\mu,\sigma)$

정규분포는 양수 값과 음수 값을 가질 수 있으므로 정규 분포의 영역은 실수로 구성됩니다.

$x\in \mathbb{R}$

정규 분포의 중앙값과 최빈값은 분포의 산술 평균과 같습니다.

$Me=Mo=\mu$

정규분포의 왜도 계수와 첨도 계수는 0입니다.

$\begin{array}{c}A=0\\[2ex]C=0\end{array}$

정규 분포의 밀도 함수 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle P[X=x]=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{ - \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

마찬가지로 정규 분포의 누적 확률 함수 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle P[X\leq x]=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}\, dx ,\quad x\in\mathbb{R}$

중심 극한 정리의 적용은 λ 값이 충분히 클 때 포아송 분포가 정규 분포에 근접할 수 있다는 것입니다.

$\text{Poisson}(\lambda)\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ N\left(\lambda, \sqrt{\lambda}\right)$

중심 극한 정리의 또 다른 적용은 이항 분포가 관측치가 많은 데이터 세트에 대한 정규 분포로 근사화될 수 있다는 것입니다.

$\text{Bin}(n,p)\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ N\left(n\cdot p, \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}\right)$

표준정규분포

단위 정규 분포라고도 하는 표준 정규 분포 는 정규 분포의 가장 간단한 경우입니다. 보다 정확하게 말하면, 표준정규분포는 평균과 표준편차 값이 각각 0과 1인 정규분포입니다.

$\displaystyle N(0,1) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\begin{cases} \mu=0\\[2ex]\sigma=1\end{cases}$

모든 정규 분포는 각 값에서 산술 평균을 뺀 다음 표준 편차로 나누는 타이핑이라는 프로세스를 적용하여 표준 정규 분포로 변환될 수 있습니다.

또한 표준 정규 분포는 확률 테이블을 사용하여 정규 분포의 확률을 결정하는 데 사용됩니다. 그래서 정규분포의 확률을 구하기 위해서는 먼저 변수를 입력하여 표준정규분포로 변환한 후, 해당 확률값이 무엇인지 표를 통해 살펴보겠습니다. 자세한 내용을 알아보려면 다음 링크를 클릭하세요.

➤ 참조: 표준 정규 분포

정규분포와 경험적 법칙

통계에서 68-95-99.7 규칙 이라고도 하는 경험 법칙은 정규 분포에서 평균의 3가지 표준 편차 내에 속하는 값의 백분율을 정의하는 규칙입니다.

보다 구체적으로, 경험 법칙은 다음과 같이 명시합니다.

정규분포의 값 중 68%는 평균의 1표준편차 내에 있습니다.
정규분포의 값 중 95%는 평균의 2표준편차 내에 있습니다.
정규분포의 값 중 99.7%는 평균의 3표준편차 내에 속합니다.

저자 소개

벤자민 앤더슨

안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기