정규 분포

정규분포는 통계에서 가장 일반적인 확률분포이다.

정규 분포에는 다음과 같은 특징이 있습니다.

• 종 모양
• 대칭
• 평균과 중앙값은 동일합니다. 둘 다 유통의 중심에 위치
• 데이터의 약 68%가 평균의 1표준편차 내에 속합니다.
• 데이터의 약 95%가 평균의 2표준편차 내에 속합니다.
• 데이터의 약 99.7%가 평균의 3 표준편차 내에 속합니다.

마지막 세 가지 사항은 경험 법칙 으로 알려져 있으며 때로는 68-95-99.7 규칙 이라고도 합니다.

관련: 경험 법칙(실습 문제)

법선을 그리는 방법

정규곡선을 그리려면 평균과 표준편차를 알아야 합니다.

예 1: 특정 학교에 다니는 남자의 키가 평균 $\mu =\; 70인치,$ 표준 편차 $\sigma \; =\; 2인치로\; 정규\; 분포를\; 따른다고\; 가정합니다.\; 법선곡선을\; 스케치합니다.$

1단계: 법선 곡선을 스케치합니다.

2단계: 평균 70인치가 중간에 있습니다.

3단계: 각 표준 편차는 2인치 거리에 해당합니다.

예 2: 특정 수달 종의 무게가 평균 $\mu =\; 30\; lb,$ 표준 편차 $\sigma \; =\; 5\; lb$ 로 정규 분포를 따른다고 가정합니다. $법선곡선을\; 스케치합니다.$

1단계: 법선 곡선을 스케치합니다.

2단계: 30파운드 평균은 중간에 위치합니다.

3단계: 각 표준 편차는 5lbs의 거리에 해당합니다.

정규 분포를 사용하여 백분율을 찾는 방법

68-95-99.7 규칙 이라고도 하는 경험 법칙 에 따르면 정규 분포 확률 변수의 경우 데이터의 68%가 평균에서 1 표준 편차 범위 내에 속하고 95%가 2 표준 편차 범위 내에 속합니다. 평균으로부터의 편차와 99.7%는 평균으로부터 3 표준편차 내에 있습니다.

이 규칙을 사용하여 백분율에 대한 질문에 답할 수 있습니다.

예: 특정 학교에 다니는 남자의 키가 평균 $\mu =\; 70인치,$ 표준 편차 $\sigma \; =\; 2인치로\; 정규\; 분포를\; 따른다고\; 가정합니다.$

$이\; 학교에\; 다니는\; 남성\; 중\; 키가\; 74인치를\; 넘는\; 비율은\; 대략\; 몇\; 퍼센트입니까?$

해결책:

1단계: 평균이 $\mu =\; 70인치이고$ 표준 편차가 $\sigma \; =\; 2인치인\; 정규\; 분포를\; 스케치합니다.$

2단계: 74인치의 높이는 평균보다 2표준편차 높습니다. 이 지점 위의 백분율을 정규 분포에 추가합니다.

2.35% + 0.15% = 2.5%

이 학교의 남성 중 약 2.5% 가 키가 74인치 이상입니다.

$이\; 학교에\; 다니는\; 남성\; 중\; 키가\; 68인치에서\; 72인치\; 사이인\; 비율은\; 대략\; 몇\; 퍼센트입니까?$

해결책:

1단계: 평균이 $\mu =\; 70인치이고$ 표준 편차가 $\sigma \; =\; 2인치인\; 정규\; 분포를\; 스케치합니다.$

2단계: 68인치와 72인치의 높이는 각각 평균보다 낮거나 높을 때 1표준편차입니다. 정규 분포에서 이 두 지점 사이의 백분율을 추가하기만 하면 됩니다.

34% + 34% = 68%

이 학교 남자 중 약 68% 가 키가 68인치에서 72인치 사이입니다.

정규 분포를 사용하여 개수를 찾는 방법

또한 개수에 관한 질문에 답하기 위해 경험 법칙을 사용할 수도 있습니다.

예: 특정 수달 종의 무게가 평균 $\mu =\; 30\; lb,$ 표준 편차 $\sigma \; =\; 5\; lb$ 로 정규 분포를 따른다고 가정합니다.

어떤 군집에는 이런 수달이 200마리 있습니다. 이 수달 중 무게가 35파운드가 넘는 수달은 대략 몇 마리입니까?

해결책:

1단계: 평균이 $\mu =\; 30lb이고$ 표준 편차가 $\sigma \; =\; 5lb$ 인 정규 분포를 스케치합니다.

2단계: 35파운드의 무게는 평균보다 1표준편차 높습니다. 이 지점 위의 백분율을 정규 분포에 추가합니다.

13.5% + 2.35% + 0.15% = 16%

3단계: 군집에 수달이 200마리 있으므로 200의 16% = 0.16 * 200 = 32

이 군집에는 약 32마리의 수달의 무게가 35파운드가 넘습니다.

이 군집에는 무게가 30파운드 미만인 수달이 대략 몇 마리 있습니까?

위에서 수행한 모든 단계를 따르는 대신 정규 분포의 중앙값이 평균(이 경우 30파운드)과 동일하다는 것을 인식할 수 있습니다.

이는 수달의 절반이 30파운드를 초과하고 나머지 절반은 30파운드 미만이라는 것을 의미합니다. 이는 200마리의 수달 중 50%의 무게가 30파운드 미만임을 의미하므로 0.5 * 200 = 100마리의 수달이 됩니다 .

추가 리소스

다음 자습서에서는 정규 분포에 대한 추가 정보를 제공합니다.

정규분포의 6가지 구체적인 예
정규 분포와 t 분포: 차이점
Excel에서 종형 곡선을 만드는 방법
Python에서 종형 곡선을 만드는 방법