지수분포

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 3, 2023 개연성 댓글 0개

이 기사에서는 통계에서 지수 분포가 무엇인지, 그리고 그것이 무엇을 위해 사용되는지 설명합니다. 마찬가지로 지수 분포의 속성은 물론 공식, 그래프 및 해결 방법도 확인할 수 있습니다. 또한 온라인 지수 분포 계산기를 사용하여 모든 확률을 계산할 수 있습니다.

지수 분포란 무엇입니까?

지수 분포는 무작위 현상이 발생할 때까지의 대기 시간을 모델링하는 데 사용되는 연속 확률 분포입니다.

보다 정확하게는 지수 분포를 통해 포아송 분포를 따르는 두 사건 간의 대기 시간을 설명할 수 있습니다. 따라서 지수 분포는 포아송 분포와 밀접한 관련이 있습니다.

➤ 참고: 포아송 분포란 무엇입니까?

지수 분포는 그리스 문자 λ로 표시되는 특성 매개변수를 가지며, 연구된 사건이 주어진 기간 동안 발생할 것으로 예상되는 횟수를 나타냅니다.

$X\sim \text{Exp}(\lambda)$

마찬가지로, 지수 분포는 고장이 발생할 때까지의 시간을 모델링하는 데에도 사용됩니다. 따라서 지수 분포는 신뢰성 및 생존 이론에서 여러 가지 응용 프로그램을 갖습니다.

지수 분포의 예

이제 지수 분포의 정의를 알았으므로 개념을 더 잘 이해하기 위해 이러한 유형의 분포에 대한 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

지수 분포의 예:

콜센터에서 두 통화 사이에 경과된 시간입니다.
특정 거리에서 무료 택시가 지나갈 때까지 기다려야 하는 시간.
새로운 고객이 매장에 들어올 때까지 기다리는 시간입니다.
두 명의 다른 사용자가 웹 페이지에 입장하는 사이에 경과되는 시간입니다.
한 비행기가 이륙하고 다른 비행기가 출발할 때까지 공항에서 경과된 시간입니다.

지수 분포 공식

지수 분포 확률의 계산을 정의하는 밀도 함수 공식은 λ에 숫자 e를 곱하고 음의 λ 곱하기 x를 곱한 것과 같습니다.

즉, 지수분포확률을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

👉 아래 계산기를 사용하여 지수분포를 따르는 변수의 확률을 계산할 수 있습니다.

한편, 지수분포의 누적확률을 계산하는 공식은 다음과 같다.

$P[X\leq x]=1-e^{-\lambda x}$

지수 분포 그래프

이 섹션에서는 밀도 함수와 지수 분포의 분포 함수를 그래픽으로 표현한 것을 볼 수 있습니다.

아래에서는 지수 분포의 밀도 함수 그래프가 매개변수 λ의 값에 따라 어떻게 달라지는지 볼 수 있습니다.

마찬가지로, 지수 분포의 누적 확률 함수도 다음 그래프에서 볼 수 있듯이 모수 λ의 값에 따라 달라집니다.

지수 분포에 대한 해결 연습

평균적으로 분당 1명의 사용자가 특정 웹페이지에 액세스합니다. 두 사용자가 입장하는 사이의 시간이 3분일 확률은 얼마입니까? 그리고 그것이 2분 이하일 확률은요?

이 문제의 확률변수를 정의하는 분포는 지수분포입니다. 왜냐하면 우리는 이벤트가 발생한 순간(사용자가 웹페이지에 진입한 시점)부터 동일한 이벤트가 다시 발생할 때까지 경과한 시간을 연구하기 때문입니다.

$X\sim \text{Exp}(1)$

따라서 서로 다른 두 사용자가 입장하는 사이에 경과된 시간이 3분일 확률을 계산하려면 밀도 함수 공식을 적용해야 합니다(위 참조).

$\begin{aligned}P[X=x]&=\lambda e^{-\lambda x}\\[2ex]P[X=3]&=1\cdot e^{-1\cdot 3}\\[2ex]P[X=3]&=0,05\end{aligned}$

반면, 누적 확률을 결정하려면 지수 분포의 분포 함수 공식을 사용해야 합니다.

$\begin{aligned}P[X\leq x]&=1- e^{-\lambda x}\\[2ex]P[X\leq 2]&=1-e^{-1\cdot 2}\\[2ex]P[X\leq 2]&=0,86\end{aligned}$

지수분포의 특성

지수 분포에는 다음과 같은 특징이 있습니다.

지수 분포에는 특정 기간 동안 연구된 현상이 발생할 것으로 예상되는 횟수를 나타내는 특성 매개변수 λ가 있습니다.

$X\sim \text{Exp}(\lambda)$

지수 분포는 음수 값을 가질 수 없으므로 지수 분포의 영역은 0보다 크거나 같은 모든 실수로 구성됩니다.

$x\in [0,+\infty)$

지수 분포의 평균은 1을 특성 매개변수 λ로 나눈 값과 같습니다.

$E[X]=\cfrac{1}{\lambda}$

지수 분포의 분산은 평균의 제곱이므로 지수 분포의 분산은 계수 λ 제곱에 대한 1과 같습니다.

$Var(X)=\cfrac{1}{\lambda^2 }$

λ의 값이 무엇이든, 지수 분포의 비대칭 계수는 항상 2와 같습니다.

$A=2$

마찬가지로, 모든 지수 분포의 첨도 계수는 항상 9와 같습니다.

$C=9$

지수 분포의 밀도 함수 공식은 다음과 같습니다.

$P[X=x]=\lambda e^{-\lambda x}$

지수 분포의 누적 확률 함수 공식은 다음과 같습니다.

$P[X\leq x]=1-e^{-\lambda x}$

지수 분포는 메모리 부족 속성을 갖는 몇 안 되는 확률 분포 중 하나입니다. 이 속성은 이전 사건의 발생이 미래에 해당 사건이 발생할 확률에 영향을 미치지 않음을 의미합니다. 예를 들어, 지수 분포에서 새로운 사용자가 1분 이내에 웹 페이지에 액세스할 확률은 사용자가 방금 들어왔는지 또는 그 이후로 사용자가 들어왔는지 여부에 따라 달라지지 않습니다. 10분 이상.

$P[X>x+y|X>y]=P[X>x]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”254″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> <h2 class=$ 지수분포 계산기