평균에 대한 가설 검정

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 3, 2023 통계 댓글 0개

이 기사에서는 통계에서 평균에 대한 가설 검정이 무엇인지 설명합니다. 따라서 평균에 대한 가설 검정 공식과 단계별로 해결되는 연습 문제를 찾을 수 있습니다.

평균에 대한 가설 검정이란 무엇입니까?

평균에 대한 가설 검정은 모집단 평균의 귀무 가설을 기각하거나 기각하는 데 사용되는 통계적 방법입니다.

보다 구체적으로, 평균에 대한 가설 검정에는 검정 통계량을 계산하고 이를 임계값과 비교하여 귀무 가설을 기각하는지 여부가 포함됩니다.

가설 검정에는 다른 이름이 있다는 점에 유의해야 합니다. 통계에서는 가설 대조, 가설 검정 또는 유의성 검정이라고도 합니다.

평균에 대한 가설 검정 공식

다음으로 평균에 대한 가설 검정 통계가 어떻게 계산되는지 살펴보겠습니다. 그러나 분산을 알고 있는지 여부에 따라 공식이 조금씩 달라지므로 먼저 분산을 알고 있는 경우와 분산을 모르는 경우 어떻게 계산되는지 살펴보겠습니다.

알려진 편차 있음

분산이 알려진 평균에 대한 검정 가설 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

금:

$Z$

평균에 대한 가설 검정 통계량입니다.
$\overline{x}$

샘플 수단입니다.
$\mu$

제안된 평균값입니다.
$\sigma$

모집단 표준편차입니다.
$n$

표본 크기입니다.

평균에 대한 가설 검정 통계량이 계산되면 결과는 귀무 가설을 기각하거나 기각하는 것으로 해석되어야 합니다.

평균에 대한 가설 검정이 양측인 경우 통계의 절대값이 임계값 Z _α/2 보다 크면 귀무가설이 기각됩니다.
평균에 대한 가설 검정이 오른쪽 꼬리와 일치하는 경우 통계량이 임계값 _Zα 보다 크면 귀무가설이 기각됩니다.
평균에 대한 가설 검정이 왼쪽 꼬리와 일치하는 경우 통계량이 임계값 -Z _α 보다 작으면 귀무가설이 기각됩니다.

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

이 경우 표준화된 정규분포표 에서 임계값을 구한다.

알 수 없는 분산

분산을 알 수 없는 평균에 대한 검정 가설 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

금:

$t$

는 스튜던트 t 분포 로 정의되는 평균에 대한 가설 검정 통계입니다.
$\overline{x}$

샘플 수단입니다.
$\mu$

제안된 평균값입니다.
$s$

표본 표준편차입니다.
$n$

표본 크기입니다.

이전과 마찬가지로 검정 통계량의 계산된 결과는 귀무 가설을 기각할지 여부를 결정하는 임계값으로 해석되어야 합니다.

평균에 대한 가설 검정이 양측인 경우 통계의 절대값이 임계값 t _α/2|n-1 보다 크면 귀무가설이 기각됩니다.
평균에 대한 가설 검정이 오른쪽 꼬리와 일치하는 경우 통계량이 임계값 t _α|n-1 보다 크면 귀무가설이 기각됩니다.
평균에 대한 가설 검정이 왼쪽 꼬리와 일치하는 경우 통계가 임계값 -t _α|n-1 보다 작으면 귀무가설이 기각됩니다.

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

분산을 알 수 없는 경우 스튜던트 분포표에서 중요한 검정 값을 얻습니다.

평균에 대한 가설 검정의 실제 예

모집단 평균에 대한 가설 검정의 개념을 완전히 이해하려면 아래에서 이러한 유형의 가설 검정에 대한 실제 예를 볼 수 있습니다.

한 기술 회사는 자사가 판매하는 노트북의 배터리가 6시간 동안 지속된다고 주장합니다. 우리는 유의수준 α = 0.05로 가설 검정을 수행하여 이 가설이 거짓인지 확인합니다. 이를 위해 20대를 구입하고 각 컴퓨터의 배터리 수명을 관찰하기로 결정했습니다(값은 시간 단위로 표시됨).

5.2 5.9 7.1 4.2 6.5
8.5 4.6 6.8 6.9 5.8
5.1 6.5 7.0 5.3 6.2
5.7 6.6 7.5 5.1 6.1

이 경우 평균에 대한 가설검정의 귀무가설과 대립가설은 다음과 같다.

$\begin{cases}H_0: \mu=6\\[2ex] H_1:\mu\neq 6 \end{cases}$

검정 통계량을 결정하려면 먼저 표본 평균과 표본 표준 편차를 계산해야 합니다.

$\overline{x}=6,13 \qquad s=1,05$

모집단 분산을 모르기 때문에 검정 통계량을 얻으려면 분산이 알려지지 않은 평균에 대한 가설 검정 공식을 적용해야 합니다.

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

$\displaystyle t=\frac{6,13-6}{\displaystyle \frac{1,05}{\sqrt{20}}}$

$\displaystyle t=0,68$

이제 가설 검정의 임계값을 찾아야 하므로 스튜던트 t 분포표 에서 해당 값을 찾습니다. 스튜던트 t의 자유도는 표본 크기(20-1=19)보다 1이 작은 반면, 양측 확률이므로 해당 확률은 유의 수준의 절반(0.05/2= 0.025)입니다. 가설 검증.

$\alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 19}=2,093\end{array}$

결론적으로 이는 양측 가설검정이고 검정통계량의 절대값이 임계값보다 작으므로 귀무가설은 기각되지 않으나 대립가설은 기각된다.

$0,68<2,093 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_1$

평균의 차이에 대한 가설 검정

평균 차이 가설 검정은 두 모집단의 평균이 동일하다는 귀무 가설을 기각하거나 수락하는 데 사용됩니다.

따라서 두 평균의 차이에 대한 가설 검정의 귀무가설은 항상 다음과 같습니다.

$H_0: \mu_1=\mu_2$

대립 가설은 다음 세 가지 중 하나일 수 있습니다.

$\begin{array}{l}H_1:\mu_1\neq \mu_2\\[2ex]H_1:\mu_1>\mu_2\\[2ex]H_1:\mu_1<\mu_2\end{array}$

그런 다음 분산이 알려진 경우 평균 차이에 대한 가설 검정 통계량을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle \overline{x_1}-\overline{x_2}}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

금:

$Z$

표준 정규 분포를 따르는 분산이 알려진 두 평균의 차이에 대한 가설 검정 통계입니다.
$\overline{x_1}$

표본 1의 평균입니다.
$\overline{x_2}$

표본 2의 평균입니다.
$\sigma_1^2$

모집단 1의 분산입니다.
$\sigma_2^2$

모집단 2의 분산입니다.
$n_1$

표본 크기는 1입니다.
$n_2$

표본 크기는 2입니다.

한편, 분산을 알 수 없는 경우 평균의 차이에 대한 가설 검정 통계량을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle t=\frac{\displaystyle \overline{x_1}-\overline{x_2}}{\displaystyle\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$