평균의 표본분포

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 3, 2023 통계 댓글 0개

이 기사에서는 통계에서 평균의 샘플링 분포가 무엇인지 설명합니다. 또한 평균 샘플링 분포 공식과 단계별 해결 연습도 확인할 수 있습니다.

평균의 표본분포는 무엇입니까?

평균의 표본 분포 (또는 평균의 표본 분포 )는 모집단에서 가능한 각 표본의 표본 평균을 계산하여 얻은 분포입니다. 즉, 모집단 에서 가능한 모든 표본의 표본 평균 집합이 평균의 표본 분포를 형성합니다.

즉, 모집단에서 추출할 수 있는 모든 표본을 연구하여 각 표본의 평균을 계산하면 계산된 값의 집합이 표본 평균의 표본 분포를 형성합니다.

통계에서는 단일 표본을 분석할 때 모집단 평균 값에 근접할 확률을 계산하기 위해 평균의 표본 분포를 사용합니다.

평균의 표본분포 공식

평균이 있는 정규 확률 분포를 따르는 모집단이 주어지면

$\mu$

및 표준편차

$\sigma$

크기 샘플이 추출됩니다.

$n$

, 평균의 샘플링 분포는 다음과 같은 특성을 갖는 정규 분포로 정의됩니다.

$\begin{array}{c}\mu_{\overline{x}}=\mu \qquad \sigma_{\overline{x}}=\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\\[4ex]\displaystyle N_{\overline{x}}\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \end{array}$

금

$\mu_{\overline{x}}$

는 평균의 표본분포의 평균이고

$\sigma_{\overline{x}}$

표준편차입니다. 뿐만 아니라,

$\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

표본분포의 표준오차이다.

참고: 모집단이 정규 분포를 따르지 않지만 표본 크기가 큰 경우(n>30), 평균의 샘플링 분포는 중심 극한 정리에 의해 이전 정규 분포에 근접할 수도 있습니다.

따라서 평균의 표본분포는 정규분포를 따르므로 표본평균과 관련된 확률을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

$Z=\cfrac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

금:

$\overline{x}$

샘플 수단입니다.
$\mu$

이는 인구 평균입니다.
$s$

모집단 표준편차입니다.
$n$

표본 크기입니다.
$Z$

는 표준 정규 분포 N(0,1)에 의해 정의되는 변수입니다.

평균의 샘플링 분포에 대한 실제 예

평균 샘플링 분포의 정의와 관련 공식이 무엇인지 살펴본 후, 개념을 더 잘 이해하기 위해 예를 풀어보겠습니다.

대학생의 체중은 평균 68kg, 표준편차 9kg의 정규분포를 따른다. 단호한:
1. 학생 25명의 무작위 표본의 평균이 66kg보다 작을 확률은 얼마입니까?
2. 학생 규모가 25명인 표본을 300개 채취한다면, 66kg 미만의 값을 갖는 표본 평균은 몇 개입니까?

우선, 해당 통계값을 계산해야 합니다. 이를 위해 위에서 본 공식을 적용합니다.

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{66-68}{\displaystyle\frac{9}{\sqrt{25}}}=-1,11$

따라서 우리가 찾고 있는 확률은 Z 확률표에서 쉽게 얻을 수 있는 표준 정규 분포의 왼쪽 꼬리 값 Z=-1.11에 해당하는 확률입니다. 따라서 우리는 문제가 우리에게 묻는 확률을 결정하기 위해 Z 테이블을 사용합니다.

$P[\overline{x}\leq 66]=P[Z\leq -1,11] =0,1335$

➤ 참조: 테이블 Z

이제 무작위 표본의 평균이 66kg 미만일 확률을 알았으므로 300개의 동일한 표본을 사용하여 표본 수 평균이 66kg 미만인지 확인하려면 계산된 확률에 추출된 총 표본 수를 곱해야 합니다.

$0,1335\cdot 300 =40,05 \approx 40$

따라서 추출된 샘플 중 약 40개는 평균 66kg 미만의 샘플을 갖게 됩니다.

저자 소개

벤자민 앤더슨

안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기

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