표준편차(또는 표준편차)

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 5, 2023 통계 댓글 0개

이 문서에서는 표준 편차라고도 하는 표준 편차가 무엇인지 설명합니다. 표준 편차를 계산하는 방법, 단계별 실제 예제 및 모든 데이터 샘플의 표준 편차를 찾는 온라인 계산기를 배우게 됩니다.

표준편차(또는 표준편차)란 무엇인가요?

표준편차 라고도 불리는 표준편차 는 통계적 분산의 척도입니다. 즉, 표준편차는 일련의 통계 데이터의 분산을 나타내는 값입니다.

따라서 표준편차(또는 표준편차)는 모집단이나 통계 표본의 분산을 정량화하는 데 사용됩니다. 데이터 계열의 표준 편차가 클수록 데이터가 더 많이 분산됩니다. 그리고 해석은 다른 방향으로도 수행될 수 있습니다. 표준 편차가 낮다면 이는 일반적으로 데이터가 평균에 매우 가깝다는 것을 의미합니다.

모집단에 대한 표준 편차 또는 일반 편차를 계산할 때 표준 편차 기호는 그리스 문자 시그마(σ)입니다. 그러나 표본 표준 편차의 경우 문자 s는 통계 측정을 나타내는 데 사용됩니다.

일부 통계 및 확률 책에서는 표준 편차를 표준 편차라고도 합니다.

표준편차(또는 표준편차) 공식

표준편차(또는 표준편차)는 데이터 계열의 편차 제곱합을 총 관측치 수로 나눈 값의 제곱근과 같습니다.

따라서 표준편차(또는 표준편차)를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

👉 아래 계산기를 사용하여 모든 데이터 세트의 표준 편차를 계산할 수 있습니다.

결론적으로, 데이터 세트의 표준편차를 찾으려면 모든 편차(데이터 포인트와 산술 평균의 차이로 정의됨)를 계산하고 편차를 2로 늘린 다음 모두 더한 다음 다음으로 나누어야 합니다. 총. 데이터 수를 계산하고 마지막으로 제곱근을 취합니다.

표준편차(또는 표준편차)의 예

표준편차(또는 대표편차)의 정의를 고려하여, 아래에서는 데이터 시리즈의 표준편차가 어떻게 계산되는지 단계별 예시를 통해 살펴보겠습니다.

3, 6, 2, 9, 4 값의 표준편차를 계산합니다.

가장 먼저 해야 할 일은 표본 평균을 결정하는 것입니다. 이를 위해 모든 데이터를 더하고 총 관측치 수인 5로 나눕니다.

$\overline{x}=\cfrac{3+6+2+9+4}{5}=4,8$

이제 표준편차 공식을 사용합니다.

$\displaystyle\sigma=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^2}{N}}$

데이터를 공식으로 대체합니다.

$\displaystyle\sigma =\sqrt{\frac{(3-4,8)^2+(6-4,8)^2+(2-4,8)^2+(9-4,8)^2+(4-4,8)^2}{5}}$

마지막으로 표준편차를 계산합니다.

$\begin{aligned}\displaystyle\sigma & = \sqrt{\frac{(-1,8)^2+1,2^2+(-2,8)^2+4,2^2+(-0,8)^2}{5}}\\[2ex]&=\sqrt{\frac{3,24+1,44+7,84+17,64+0,64}{5}}\\[2ex]&= \sqrt{\frac{30,8}{5}}=\sqrt{6,16}=2,48 \end{aligned}$

표준편차(또는 표준편차) 계산기

다음 온라인 계산기에 일련의 통계 데이터를 입력하여 표준 편차(또는 표준 편차)를 계산하세요. 데이터는 공백으로 구분해야 하며 소수점 구분 기호로 마침표를 사용하여 입력해야 합니다.

그룹화된 데이터의 표준(또는 일반) 편차

간격으로 그룹화된 데이터의 표준 편차(또는 표준 편차)를 계산하려면 다음 단계를 따라야 합니다.

그룹화된 데이터의 평균을 구합니다.
그룹화된 데이터의 편차를 계산합니다.
각 간격을 제곱합니다.
각 이전 결과에 해당 간격의 빈도를 곱합니다.
이전 단계에서 얻은 모든 값의 합계를 더합니다.
총 관찰 수로 나눕니다.
이전 값의 제곱근을 취합니다. 결과 숫자는 그룹화된 데이터의 표준 편차입니다.

결론적으로 구간별로 그룹화된 데이터의 표준편차를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle\sigma=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N\left(x_i-\overline{x}\right)^2\cdot f_i }{N}}$

일반적으로 위의 공식을 사용하지만, 동일한 결과가 나오므로 다음과 같은 대수식을 사용할 수도 있습니다.

$\displaystyle\sigma=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2\cdot f_i }{N}-\overline{x}^2}$

따라서 이것이 어떻게 수행되는지 볼 수 있습니다. 아래에서는 간격으로 그룹화된 데이터의 표준 편차에 대한 단계별 연습입니다. 보다 정확하게는 다음 통계 데이터의 표준 편차가 계산됩니다.

먼저 산술 평균을 계산하기 위해 각 간격의 클래스 점수에 해당 빈도를 곱합니다.

따라서 그룹화된 데이터의 평균은 다음과 같습니다.

$\overline{x}=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i\cdot f_i}{N}=\cfrac{46200}{100}=462$

이제 평균 값을 알았으므로 데이터 테이블에 다음 세 개의 열을 추가해야 합니다.

그런 다음 그룹화된 데이터의 표준 편차는 마지막 열 합계의 제곱근을 총 관찰 수로 나눈 결과가 됩니다.

$\displaystyle\sigma=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N\left(x_i-\overline{x}\right)^2\cdot f_i }{N}}=\sqrt{\frac{1445600}{100}}=120,23$

표준(또는 일반) 편차 및 분산

표준편차(또는 일반편차)와 분산 사이의 관계는 표준편차가 분산의 제곱근이라는 것입니다.

따라서 데이터 세트의 분산 값을 알고 있으면 제곱근을 취하여 표준 편차를 쉽게 계산할 수 있습니다. 또는 반대로 표준편차를 알고 있다면 그 값을 제곱하여 분산을 구할 수 있습니다.

$Var(X)=\sigma^2$

실제로 분산은 표준편차 제곱 기호를 사용하여 간단히 나타낼 수 있습니다. 따라서 모집단 분산의 기호는 시그마 제곱(σ ² )이고 표본 분산의 기호는 s 제곱(s ² )입니다.

또한 표준 편차와 분산의 개념은 둘 다 일련의 통계 데이터의 분산을 보여주기 때문에 유사한 해석을 갖습니다.

표준편차(또는 표준편차)의 속성

표준편차에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

데이터 샘플의 표준 편차는 음수가 될 수 없습니다.

$\sigma \ge 0$

모든 데이터가 동일하면 표준편차는 0이 됩니다.

$\sigma =0$

모든 데이터에 상수항을 추가해도 표준편차 값은 변하지 않습니다.

$\sigma (X+k)=\sigma (X)$

모든 데이터에 숫자를 곱하면 표준편차에 해당 숫자의 절대값이 곱해집니다.

$\sigma (k\cdot X)=|k|\cdot \sigma (X)$

두 확률 변수의 합의 표준 편차는 변수 분산 합의 제곱근에 두 변수 간의 공분산의 두 배를 더한 것과 같습니다.

$\sigma(X+Y)=\sqrt{Var(X)+Var(Y)+2\cdot Cov(X,Y)}$

다양한 분포의 표준편차(σ _i )와 해당 데이터 수( _ni )를 알고 있으면 다음 공식을 적용하여 전체 표준편차를 계산할 수 있습니다.

$\displaystyle\sigma=\sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N n_i\cdot \sigma_i^2}{\displaystyle \sum_{i=1}^N n_i}}=\sqrt{\frac{\displaystyle n_1\cdot \sigma_1^2+n_2\cdot \sigma_2^2+\dots +n_N\cdot \sigma_N^2}{\displaystyle n_1+n_2+\dots+n_N}}$

저자 소개

벤자민 앤더슨

안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기