범위 제한이란 무엇입니까?

종종 통계에서 우리는 두 변수 사이의 상관관계를 측정하려고 합니다. 이는 다음을 이해하는 데 도움이 됩니다.

• 두 변수 사이의 관계 방향 . 한 변수가 증가하면 다른 변수도 증가하는 경향이 있습니까, 아니면 감소하는 경향이 있습니까?
• 두 변수 사이의 관계의 강도입니다 . 두 변수의 값은 얼마나 변합니까?

불행하게도 두 변수 사이의 상관관계를 측정할 때 발생할 수 있는 문제를 범위 제한 이라고 합니다. 이는 어떤 이유로 인해 변수 중 하나에 대한 측정값의 범위가 제한될 때 발생합니다.

예를 들어, 특정 학교 학생의 학습 시간 과 시험 점수 간의 상관 관계를 측정한다고 가정해 보겠습니다.

학교의 학생 1,000명 전체에 대해 이 두 변수에 대한 데이터를 수집하면 공부 시간 과 시험 점수 사이의 상관 관계가 0.73 임을 알 수 있습니다.

이 상관관계는 꽤 높아서 두 변수 사이에 강한 양의 관계가 있음을 나타냅니다. 학생들은 더 많이 공부할수록 시험에서 더 좋은 성적을 거두는 경향이 있습니다.

하지만 우등과정 학생들에 대해서만 데이터를 수집한다고 가정해보자. 아마도 이 학생들은 모두 적어도 6시간 동안 공부했을 것입니다.

따라서 이러한 학생들의 공부 시간 과 시험 점수 사이의 상관 관계를 계산하면 공부 시간의 가변적인 범위에 대해 좁은 범위를 사용하게 됩니다.

시간이 6보다 큰 범위에 대한 산점도를 확대하면 플롯은 다음과 같습니다.

이 그래프에서 두 변수 사이의 상관관계는 0.37 로 나타났으며, 이는 0.73 보다 현저히 낮습니다.

따라서 우등생의 공부 시간 과 시험 점수 에 대한 데이터만 수집한다면 공부 시간과 시험 점수 사이에 약한 관계가 있다고 가정할 수 있습니다.

그러나 변수 중 하나에 대해 제한된 범위를 사용했기 때문에 이 결과는 오해의 소지가 있습니다.

제한된 범위의 실제 사례

제한된 범위의 문제는 실제로 다양한 연구에서 발생할 수 있습니다. 여기 몇 가지 예가 있어요.

1. 고성능 운동선수에 관한 연구 . 연구자들은 특정 훈련 프로그램이 특정 표준 프로그램보다 더 많은 근육량을 생산하는지 여부를 연구하는 데 관심이 있을 수 있습니다.

연구자들이 엘리트 운동선수에 대한 데이터만 수집한다면 이들 운동선수는 모두 이미 높은 근육량을 갖고 있을 가능성이 높습니다. 따라서 훈련 프로그램과 생성된 근육량 사이의 상관관계를 계산하는 데 사용할 수 있는 값의 범위가 좁습니다.

2. 성취도가 높은 학생들에 대한 연구. 연구자들은 특정 개인교습 프로그램이 성적에 긍정적인 영향을 미치는지 여부를 연구하고 싶을 수도 있습니다. 본질적으로 성적을 향상시키고 개인교습 프로그램에 참여하기를 열망하는 학생들은 이미 성취도가 높은 학생들일 수 있습니다.

따라서 이 학생들의 성적에는 개선의 여지가 별로 없을 수도 있습니다. 연구자들이 개인교습 프로그램에 소요된 시간과 그에 따른 성적 상승 사이의 상관관계를 계산할 때, 성적 향상의 여지가 제한되어 있기 때문에 실제 상관관계가 과소평가될 수 있습니다.

제한된 범위를 설명하는 방법

제한된 범위를 설명하는 인기 있는 방법은 심리학자 Robert L. Thorndike가 개발한 공식인 Thorndike Case 2 로 알려져 있습니다.

이 공식은 두 변수 간의 실제 상관 관계에 대한 추정치를 제공하고 다음 계산을 사용합니다.

실제 상관관계 = √(1-(SD ² _{y 제한됨} -SD ² _{y 무제한} )) * (1-r ² _제한됨 )

금:

• SD ² _{제한 y} : 응답 변수 y에 대한 사용 가능한 데이터의 제곱 표준 편차입니다.
• _무제한 SD ² y: 모집단에 대한 반응 변수의 알려진 제곱 표준 편차입니다.
• r ² _제한됨 : 사용 가능한 제한된 데이터에 대한 2차 상관 관계입니다.

이 공식은 변수 중 하나가 제한된 범위에 있을 때 두 변수 사이의 실제 상관 관계에 대한 편견 없는 추정치를 생성하는 데 효과적인 것으로 나타났습니다.

이 공식을 사용하려면 반응 변수에 대한 실제 모집단 표준 편차의 추정치가 있어야 합니다.