비대칭(통계)

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 5, 2023 통계 댓글 0개

이 기사에서는 통계에서 왜도가 무엇을 의미하는지 설명합니다. 따라서 통계에서 비대칭의 정의, 다양한 유형의 비대칭, 비대칭 계수 계산 방법 및 해석 방법을 찾을 수 있습니다.

통계에서 비대칭이란 무엇입니까?

통계에서 왜도는 평균을 기준으로 분포의 대칭성(또는 비대칭성) 정도를 나타내는 척도입니다. 간단히 말해서 왜도는 분포를 그래픽으로 표시할 필요 없이 분포의 대칭성(또는 비대칭성) 정도를 결정하는 데 사용되는 통계 매개변수입니다.

따라서 치우친 분포는 평균의 왼쪽과 오른쪽에 있는 값의 개수가 다른 분포입니다. 반면, 대칭 분포에서는 평균을 기준으로 왼쪽과 오른쪽에 같은 개수의 값이 있습니다.

예를 들어, 지수 분포는 비대칭이고 정규 분포는 대칭입니다.

비대칭의 유형

통계에는 세 가지 유형의 비대칭이 있습니다.

양의 비대칭성 : 분포의 평균은 왼쪽보다 오른쪽에 더 많은 값이 있습니다.
대칭성(Symmetry) : 분포는 평균의 오른쪽과 평균의 왼쪽에 동일한 수의 값이 있습니다.
음의 왜도 : 분포는 평균의 오른쪽보다 왼쪽에 더 많은 값이 있습니다.

비대칭 계수

왜도 계수 또는 비대칭 지수는 분포의 비대칭성을 결정하는 데 도움이 되는 통계 계수입니다. 따라서 비대칭 계수를 계산하면 분포를 그래픽으로 표현하지 않고도 분포의 비대칭 유형을 알 수 있습니다.

비대칭 계수를 계산하는 공식에는 여러 가지가 있으며 아래에서 모두 볼 수 있지만 사용된 공식에 관계없이 비대칭 계수의 해석은 항상 다음과 같이 수행됩니다.

왜도 계수가 양수이면 분포는 양수로 치우쳐 있습니다 .
왜도 계수가 0이면 분포는 대칭 입니다.
왜곡도 계수가 음수이면 분포는 음수로 왜곡 됩니다.

피셔의 비대칭 계수

Fisher의 왜도 계수는 평균에 대한 세 번째 모멘트를 표본 표준 편차로 나눈 값과 같습니다. 따라서 Fisher의 비대칭 계수 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

마찬가지로, 다음 두 공식 중 하나를 사용하여 Fisher 계수를 계산할 수 있습니다.

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

금

$E$

수학적 희망이다.

$\mu$

산술 평균,

$\sigma$

표준편차

$N$

총 데이터 수입니다.

반면에 데이터가 그룹화되면 다음 공식을 사용할 수 있습니다.

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

이 경우 어디에

$x_i$

그것은 클래스의 표시이며

$f_i$

코스의 절대 빈도.

피어슨의 비대칭 계수

피어슨의 왜도 계수는 표본 평균과 모드 간의 차이를 표준 편차(또는 표준 편차)로 나눈 값과 같습니다. 따라서 Pearson 비대칭 계수의 공식은 다음과 같습니다.

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

금

$A_p$

피어슨 계수이고,

$\mu$

산술 평균,

$Mo$

패션과

$\sigma$

표준편차.

Pearson 왜도 계수는 단봉 분포인 경우, 즉 데이터에 모드가 하나만 있는 경우에만 계산할 수 있습니다.

일부 저자는 Pearson 왜도 계수를 계산하기 위해 모드 대신 중앙값을 사용하지만 일반적으로 위의 공식을 사용합니다.

➤ 참고: 평균, 중앙값, 최빈값의 차이

Bowley의 비대칭 계수

Bowley의 왜도 계수는 세 번째 사분위수와 첫 번째 사분위수의 합에서 중앙값의 두 배를 뺀 값을 세 번째 사분위수와 첫 번째 사분위수 간의 차이로 나눈 값과 같습니다. 따라서 이 비대칭 계수의 공식은 다음과 같습니다.

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

금

$Q_1$

그리고

$Q_3$

이는 각각 1사분위수와 3사분위수이며,

$Me$

분포의 중앙값입니다.

분포의 중앙값은 두 번째 사분위수와 일치한다는 점을 기억하세요.

➤ 참고: 사분위수 계산기

통계에서 비대칭성은 무엇을 위해 사용되나요?

통계에서 비대칭성의 의미를 완전히 이해하기 위해 이러한 분포 특성이 어떻게 계산되는지 살펴보겠습니다.

왜도는 확률 분포의 모양을 아는 데 주로 사용됩니다. 왜도 계수를 계산하면 그래픽 표현을 하지 않고도 음의 비대칭, 양의 비대칭 또는 대칭 분포인지 알 수 있기 때문입니다.

또한 왜도는 첨도와 함께 데이터 세트가 정규 분포에 근접할 수 있는지 여부를 결정하는 데 사용됩니다. 즉, 왜도계수와 첨도계수를 계산하여 데이터 계열이 정규분포의 가정을 만족하는지 확인하고, 정규분포의 가정을 만족한다면 많은 통계정리를 적용할 수 있다는 점에서 매우 유익하다고 할 수 있다.

➤ 참조: 설렘

저자 소개

벤자민 앤더슨

안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기