오류 전파란 무엇입니까? (정의 & #038; 예)
오류 전파는 불확실성 δa , δb , δc …를 사용하여 일부 수량 a , b , c , …를 측정한 다음 a , b , c 등의 측정값을 사용하여 다른 수량 Q를 계산하려고 할 때 발생합니다.
불확실성 δ a , δ b , δc는 Q 의 불확실성까지 전파 (즉, “확산”)될 것으로 나타났습니다.
δ Q 로 표시되는 Q 의 불확실성을 계산하기 위해 다음 공식을 사용할 수 있습니다.
참고: 아래의 각 공식에 대해 수량 a , b , c 등이 가정됩니다. 무작위 오류와 상관되지 않은 오류가 포함되어 있습니다.
덧셈 또는 뺄셈
Q = a + b + … + c – (x + y + … + z)인 경우
그러면 δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
예: 사람의 지면에서 허리까지의 길이를 40인치 ± 0.18인치로 측정한다고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 허리부터 머리 꼭대기까지의 길이를 측정하여 30인치 ± 0.06인치가 되도록 합니다.
그런 다음 이 두 측정값을 사용하여 사람의 전체 키를 계산한다고 가정해 보겠습니다. 높이는 다음과 같이 계산됩니다: 40인치 + 30인치 = 70 인치. 이 추정의 불확실성은 다음과 같이 계산됩니다.
- δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
- δ Q = √ (.18) 2 + (.06) 2
- δQ = 0.1897
이를 통해 최종 측정값은 70 ± 0.1897 인치가 됩니다.
곱셈 또는 나눗셈
Q = (ab…c) / (xy…z)인 경우
그러면 δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
예: 요소 a 의 길이와 요소 b 의 길이의 비율을 측정한다고 가정합니다. a 의 길이는 20인치 ± 0.34인치로, b 의 길이는 15인치 ± 0.21인치로 측정됩니다.
Q = a/b 로 정의된 비율은 20/15 = 1.333 으로 계산됩니다. 이 추정의 불확실성은 다음과 같이 계산됩니다.
- δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
- δQ = |1.333| * √ (.34/20) 2 + (.21/15) 2
- δQ = 0.0294
이를 통해 최종 비율은 1.333 ± 0.0294 인치가 됩니다.
측정량에 정확한 수치를 곱한 값
A가 정확히 알려져 있고 Q = A x
그러면 δ Q = |A|δx
예: 원의 지름을 5미터 ± 0.3미터로 측정한다고 가정합니다. 그런 다음 이 값을 사용하여 원의 원주 c = πd 를 계산합니다.
원주는 c = πd = π*5 = 15.708 로 계산됩니다. 이 추정의 불확실성은 다음과 같이 계산됩니다.
- δQ = |A|δx
- δ Q = | π | * 0.3
- δQ = 0.942
따라서 원의 둘레는 15.708 ± 0.942 미터입니다.
권력의 불확실성
n 이 정확한 숫자이고 Q = x n 인 경우
그러면 δ Q = | 질문 | * | 엔 | * (δx /x )
예: 입방체의 측면을 s = 2인치 ± 0.02인치로 측정한다고 가정합니다. 그런 다음 이 값을 사용하여 입방체 v = s 3 의 부피를 계산합니다.
부피는 다음과 같이 계산됩니다: v = s 3 = 2 3 = 8인치 3 . 이 추정의 불확실성은 다음과 같이 계산됩니다.
- δ Q = | 질문 | * | 엔 | * (δx /x )
- δQ = |8| * |3| * (.02/2)
- δQ = 0.24
따라서 정육면체의 부피는 8 ± 0.24인치입니다. 3 .
일반적인 오류 전파 공식
Q = Q(x) 가 x 의 함수이면 일반적인 오류 전파 공식은 다음과 같이 정의될 수 있습니다.
δQ = |dQ / dX |δx
이러한 공식을 처음부터 파생할 필요는 거의 없지만 공식을 파생하는 데 사용되는 일반 공식을 아는 것이 도움이 될 수 있습니다.
저자 소개
벤자민 앤더슨
안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기