총 확률의 법칙: 정의 및 예

확률 이론에서 전체 확률의 법칙은 A 의 확률을 직접적으로 알지 못하지만 사건 B ₁ , B ₂ , B ₃ …이 분할을 형성한다는 것을 알고 있는 경우 사건 A 의 확률을 찾는 유용한 방법입니다. 표본 공간 S 의

이 법은 다음을 명시합니다.

총 확률의 법칙

B ₁ , B ₂ , B ₃ …이 표본 공간 S 의 분할을 형성하면 사건 A 의 확률을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

P( A ) = ΣP( A | B _i )*P( B _i )

이 법칙을 이해하는 가장 쉬운 방법은 간단한 예를 드는 것입니다.

다음과 같은 구슬이 들어 있는 상자에 두 개의 가방이 있다고 가정합니다.

• 가방 1: 빨간색 구슬 7개와 녹색 구슬 3개
• 가방 2: 빨간색 구슬 2개와 녹색 구슬 8개

가방 중 하나를 무작위로 선택한 다음 해당 가방에서 구슬을 무작위로 선택하면 그것이 녹색 구슬일 확률은 얼마입니까?

이 예에서는 P( G ) = 녹색 구슬을 선택할 확률이라고 가정합니다. 우리가 관심을 갖는 것은 확률이지만 직접적으로 계산할 수는 없습니다.

대신에 B _i가 표본 공간 S 의 분할을 형성하는 어떤 사건 B 가 주어지면 G 의 조건부 확률을 사용해야 합니다. 이 예에서는 다음과 같은 조건부 확률을 갖습니다.

• P(G| _B1 ) = 3/10 = 0.3
• P(G| _B2 ) = 8/10 = 0.8

따라서 전체 확률의 법칙을 사용하여 녹색 구슬을 선택할 확률을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

• P(G) = ΣP(G|B _i )*P(B _i )
• P(G) = P(G|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(G|B ₂ )*P(B ₂ )
• P(G) = (0.3)*(0.5) + (0.8)*(0.5)
• P(G) = 0.55

가방 중 하나를 무작위로 선택한 다음 해당 가방에서 구슬을 무작위로 선택하면 녹색 구슬을 선택할 확률은 0.55 입니다.

총 확률의 법칙에 대한 이해를 강화하려면 다음 두 가지 예를 읽으십시오.

예시 1: 위젯

A사는 자동차 정비소에 위젯의 80%를 공급하는데, 불량으로 판명된 위젯은 1%에 불과합니다. B사는 나머지 20%의 위젯을 자동차정비점에 납품하고 3%는 불량으로 판명됐다.

고객이 자동차 수리점에서 위젯을 무작위로 구입한 경우 결함이 있을 확률은 얼마나 됩니까?

P( D ) = 위젯에 결함이 있을 확률, P(B _i )를 해당 위젯이 회사 중 한 곳에서 나올 확률이라고 하면 결함이 있는 위젯을 구매할 확률은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

• P(D) = ΣP(D|B _i )*P(B _i )
• P(D) = P(D|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(D|B ₂ )*P(B ₂ )
• P(D) = (0.01)*(0.80) + (0.03)*(0.20)
• P(D) = 0.014

이 자동 상점에서 위젯을 무작위로 구매하는 경우 결함이 있을 확률은 0.014 입니다.

예시 2: 숲

숲 A는 특정 공원 전체 면적의 50%를 차지하고 있으며, 이 숲에 있는 식물의 20%는 독성이 있습니다. B 숲은 전체 면적의 30%를 차지하며, 여기에 포함된 식물의 40%는 독성이 있습니다. 숲 C는 영토의 나머지 20%를 차지하고 그곳에서 발견된 식물의 70%는 독성이 있습니다.

우리가 무작위로 이 공원에 들어가서 땅에 있는 식물을 꺾는다면 그것이 독성이 있을 가능성은 얼마나 됩니까?

P( P ) = 식물이 독성이 있을 확률, P(B _i )를 세 숲 중 하나에 들어갈 확률로 설정하면 무작위로 선택한 식물이 독성이 있을 확률을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

• P(P) = ΣP(P|B _i )*P(B _i )
• P(P) = P(P|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(P|B ₂ )*P(B ₂ ) + P(P|B ₃ )*P(B ₃ )
• P(P) = (0.20)*(0.50) + (0.40)*(0.30) + (0.70)*(0.20)
• P(P) = 0.36

땅에서 식물을 무작위로 선택하면 독성이 있을 확률은 0.36 입니다.

추가 리소스

다음 튜토리얼에서는 확률 주제에 대한 추가 정보를 제공합니다.

확률 분포의 평균을 찾는 방법
확률 분포의 표준 편차를 찾는 방법
확률 분포 계산기