지수 분포 소개

지수 분포는 특정 사건이 발생할 때까지 기다려야 하는 시간을 모델링하는 데 사용되는 확률 분포입니다.

이 분포는 다음과 같은 질문에 답하는 데 사용될 수 있습니다.

• 소매업체는 고객이 매장에 들어올 때까지 얼마나 기다려야 합니까?
• 노트북이 고장나기 전까지 얼마나 오랫동안 계속 작동할 수 있나요?
• 자동차 배터리는 수명이 다할 때까지 얼마나 오랫동안 작동할 수 있나요?
• 특정 지역에서 다음 화산 폭발이 일어나기까지 얼마나 기다려야 합니까?

각 시나리오에서 특정 이벤트가 발생할 때까지 기다려야 하는 시간을 계산하려고 합니다. 따라서 각 시나리오는 지수 분포를 사용하여 모델링될 수 있습니다.

지수 분포: PDF 및 CDF

확률 변수 X가 지수 분포를 따르는 경우 X 의 확률 밀도 함수는 다음과 같이 작성될 수 있습니다.

f (x; λ) = λe ^-λx

금:

• λ: 속도 매개변수(λ = 1/μ로 계산됨)
• e: 대략 2.718과 같은 상수

누적 분포 함수

F (x; λ) = 1 – e – ^λx

실제로 CDF는 지수 분포와 관련된 확률을 계산하는 데 가장 자주 사용됩니다.

예를 들어, 특정 간헐천의 분출 간격이 평균 40분이라고 가정해 보겠습니다. 폭발이 일어나기까지 50분도 채 기다려야 할 가능성은 얼마나 됩니까?

이 문제를 해결하려면 먼저 rate 매개변수를 계산해야 합니다.

• λ = 1/μ
• λ = 1/40
• λ = 0.025

λ = 0.025와 x = 50을 CDF 공식에 대입할 수 있습니다.

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 50) = 1 – e ^-0.025(50)
• P(X ≤ 50) = 0.7135

다음 폭발이 50분 이내에 기다려야 할 확률은 0.7135 입니다.

지수 분포 시각화

다음 그래프는 랜덤 변수 의 확률 밀도 함수를 보여줍니다.

다음 그래프는 다양한 속도 매개변수를 갖는 지수 분포를 따르는 확률 변수 X 의 누적 분포 함수를 보여줍니다.

참고: R에서 지수 분포를 그리는 방법을 알아보려면 이 튜토리얼을 확인하세요.

지수분포의 속성

지수 분포에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

• 평균: 1 / λ
• 차이: 1 / λ ²

예를 들어, 특정 간헐천의 분출 간격이 평균 40분이라고 가정해 보겠습니다. 우리는 비율을 λ = 1/μ = 1/40 = 0.025로 계산합니다.

그런 다음 이 분포에 대해 다음 속성을 계산할 수 있습니다.

• 다음 분화까지의 평균 대기 시간: 1/λ = 1 /.025 = 40
• 다음 분화를 위한 대기 시간의 변화: 1/λ ² = 1 /.025 ² = 1600

참고: 지수 분포에는 기억력이 없다는 속성 도 있습니다. 즉, 미래 사건이 발생할 확률은 과거 사건의 발생에 영향을 받지 않습니다.

지수분포 연습 문제

지수 분포에 대한 지식을 테스트하려면 다음 연습 문제를 사용하세요.

질문 1: 평균 2분마다 신규 고객이 매장에 입장합니다. 고객이 도착한 후 1분 이내에 새로운 고객이 도착할 확률을 구하십시오.

해결 방법 1: 클라이언트 간 평균 시간은 2분입니다. 따라서 비율은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

• λ = 1/μ
• λ = 1/2
• λ = 0.5

λ = 0.5 및 x = 1을 CDF 공식에 연결할 수 있습니다.

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0.5(1)
• P(X ≤ 1) = 0.3935

다음 고객이 도착할 때까지 1분 이내에 기다려야 할 확률은 0.3935 입니다.

질문 2: 특정 지역에서는 평균 400일마다 지진이 발생합니다. 지진이 발생한 후 다음 지진이 발생하기까지 500일 이상 걸릴 확률을 구하십시오.

해결 방법 2: 지진 사이의 평균 간격은 400일입니다. 따라서 비율은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

• λ = 1/μ
• λ = 1/400
• λ = 0.0025

λ = 0.0025 및 x = 500을 CDF 공식에 대입할 수 있습니다.

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0.0025(500)
• P(X ≤ 1) = 0.7135

다음 지진이 500일 미만으로 기다려야 할 확률은 0.7135입니다. 따라서 다음 지진이 발생하기까지 500일 이상 기다려야 할 확률은 1 – 0.7135 = 0.2865 입니다.

질문 3: 콜센터에서는 평균 10분마다 새로운 전화를 받습니다. 고객이 전화한 후 새로운 고객이 10~15분 이내에 전화할 가능성을 판단합니다.

해결 방법 3: 통화 간 평균 시간은 10분입니다. 따라서 비율은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

• λ = 1/μ
• λ = 1/10
• λ = 0.1

다음 공식을 사용하여 신규 고객이 10~15분 내에 전화할 확률을 계산할 수 있습니다.

• P(10 < X ≤ 15) = (1 – e ^-0.1(15) ) – (1 – e ^-0.1(10) )
• P(10 < X ≤ 15) = 0.7769 – 0.6321
• P(10 < X ≤ 15) = 0.1448

신규 고객이 10~15분 이내에 전화할 가능성입니다. 0.1448 입니다.

추가 리소스

다음 튜토리얼에서는 다른 일반적인 확률 분포를 소개합니다.

정규분포 소개
이항분포 소개
포아송 분포 소개
균일 분포 소개