스튜던트 t 분포

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 4, 2023 개연성 댓글 0개

이 기사에서는 스튜던트 t 분포가 무엇인지, 그리고 어떤 용도로 사용되는지 설명합니다. 또한 스튜던트 t 분포의 그래프가 표시되며 이러한 유형의 확률 분포의 특징은 무엇입니까?

학생 분포란 무엇입니까?

스튜던트 t 분포는 통계학에서 널리 사용되는 확률 분포입니다. 특히 스튜던트 t 분포는 스튜던트 t 검정에서 두 표본 평균 간의 차이를 확인하고 신뢰 구간을 설정하는 데 사용됩니다.

스튜던트 t 분포는 1908년 통계학자인 William Sealy Gosset이 “Student”라는 가명으로 개발했습니다.

스튜던트 t 분포는 총 관측치 수에서 1단위를 빼서 얻은 자유도 수로 정의됩니다. 따라서 스튜던트 t 분포의 자유도를 결정하는 공식은 ν=n-1 입니다.

$\begin{array}{c}\nu=n-1\\[2ex]X\sim t_\nu\end{array}$

스튜던트 t 분포 그래프

이제 스튜던트 t 분포의 정의를 알았으니 해당 그래프가 무엇인지 살펴보겠습니다. 따라서 아래에서는 다양한 자유도를 갖는 스튜던트 t 분포의 여러 예를 그래픽으로 볼 수 있습니다.

스튜던트 t 분포 그래프에서 다음 속성을 추론할 수 있습니다.

스튜던트 t 분포는 0을 중심으로 대칭이며 종 모양입니다.
스튜던트 t 분포는 정규 분포보다 더 분산되어 있습니다. 즉, 스튜던트 t 분포의 곡선이 더 넓습니다.
스튜던트 t 분포의 자유도가 높을수록 분산은 낮아집니다.

위 그래프에서 스튜던트 t 분포의 밀도 함수는 자유도에 대해 플롯되었습니다. 그러나 스튜던트 t 분포의 누적 확률 함수가 어떻게 달라지는지 아래에서 확인할 수 있습니다.

➤ 참조: 학생 배포표

스튜던트 t 분포의 특성

스튜던트 t 분포의 가장 중요한 특성은 다음과 같습니다.

스튜던트 t 분포의 영역은 실수로 구성됩니다.

$x\in (-\infty, +\infty)$

자유도가 2개 이상인 스튜던트 t 분포의 경우 분포 평균은 0과 같습니다.

$\begin{array}{c}X\sim t_\nu\\[2ex] E[X]=0 \qquad \text{para }\nu>1\end{array} ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”55″ width=”190″ style=”vertical-align: 0px;”> <ul> <li> 스튜던트 t 분포의 분산은 다음 표현식을 사용하여 계산할 수 있습니다.</li> </ul> 2\end{array} ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”75″ width=”245″ style=”vertical-align: 0px;”> <ul> <li> 스튜던트 t 분포의 중앙값과 최빈값은 자유도 수에 관계없이 항상 0입니다.</li> </ul> <p class=$ $\begin{array}{c}Me=0\\[2ex]Mo=0\end{array}$

스튜던트 t 분포의 밀도 함수는 다음 공식으로 정의됩니다.

$\displaystyle P[X=x]=\frac{\Gamma((\nu+1)/2)} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\nu/2)} (1+x^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}$

스튜던트 t 분포의 누적 확률 분포 함수는 다음 공식으로 정의됩니다.

$\displaystyle P[X\leq x]=\frac{1}{2} + x \Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right) \cdot\frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2};-\frac{x^2}{\nu} \right)}{\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma \left(\frac{\nu}{2}\right)}$

자유도가 3보다 큰 스튜던트 t 분포의 경우 대칭 분포이므로 비대칭 계수는 0입니다.

$\displaystyle A=0\qquad \text{para }\nu>3″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”17″ width=”164″ style=”vertical-align: -4px;”> <ul> <li> 스튜던트 t 분포의 자유도가 4보다 큰 경우 첨도는 6을 자유도에서 4를 뺀 값으로 나누어 계산할 수 있습니다. </li> </ul> 4″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”38″ width=”198″ style=”vertical-align: -12px;”> <h2 class=$ 스튜던트 t 분포의 응용

스튜던트 t 분포는 통계학에서 널리 사용되는 확률 분포입니다. 실제로 가설과 신뢰 구간을 테스트하는 데 사용되는 스튜던트 t-테스트도 있습니다.

따라서 스튜던트 t 분포를 사용하면 두 표본의 평균 간의 차이를 분석할 수 있으며, 보다 정확하게는 두 표본의 평균이 크게 다른지 확인하는 데 사용됩니다. 마찬가지로, 선형회귀분석을 통해 얻은 선에 기울기가 있는지 여부를 알아보기 위해 스튜던트 t 검정(Student’s t test)을 사용한다.

간단히 말해서, 스튜던트 t 분포의 적용은 이론적으로 정규 분포를 따르는 데이터 세트의 분석에 의존하지만 이러한 유형의 분포를 사용하기에는 총 관찰 수가 너무 적습니다.

저자 소개

벤자민 앤더슨

안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기

학생 분포란 무엇입니까?

스튜던트 t 분포 그래프

스튜던트 t 분포의 특성

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