생선 유통

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 3, 2023 개연성 댓글 0개

이 기사에서는 통계에서 포아송 분포가 무엇인지, 그리고 어떤 용도로 사용되는지 설명합니다. 따라서 포아송 분포의 정의, 포아송 분포의 예 및 해당 속성이 무엇인지 확인할 수 있습니다. 마지막으로 온라인 계산기를 사용하여 포아송 분포의 확률을 계산할 수 있습니다.

포아송 분포란 무엇입니까?

푸아송 분포는 일정 기간 동안 주어진 수의 사건이 발생할 확률을 정의하는 확률 분포입니다.

즉, 포아송 분포는 시간 간격에서 현상이 반복되는 횟수를 설명하는 확률 변수를 모델링하는 데 사용됩니다.

푸아송 분포에는 그리스 문자 λ로 표시되는 특성 매개변수가 있으며, 이는 연구된 사건이 주어진 간격 동안 발생할 것으로 예상되는 횟수를 나타냅니다.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

일반적으로 푸아송 분포는 발생 확률이 매우 낮은 사건을 통계적으로 모델링하는 데 사용됩니다. 아래에서는 이러한 유형의 확률 분포에 대한 몇 가지 예를 볼 수 있습니다.

포아송 분포의 예

포아송 분포의 정의를 살펴본 후 포아송 분포의 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

포아송 분포의 예:

1시간 동안 매장에 입장한 사람의 수.
한 달 동안 두 나라 국경을 넘나드는 차량의 수.
하루에 웹페이지에 접속한 사용자 수입니다.
하루 동안 공장에서 생산된 불량 부품의 수.
전화 교환기가 분당 수신하는 통화 수입니다.

생선 분포 공식

푸아송 분포에서 x 사건이 발생할 확률은 e 의 -λ 거듭제곱에 λ 의 x 거듭제곱을 곱하고 x 의 계승으로 나눈 값과 같습니다.

따라서 포아송 분포의 확률을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

👉 아래 계산기를 사용하여 포아송 분포를 따르는 변수의 확률을 계산할 수 있습니다.

푸아송 분포는 이산형 확률분포이므로 누적확률을 구하려면 해당 값까지 모든 값의 확률을 구한 후 계산된 확률을 모두 더해야 합니다.

푸아송 분포에 대한 문제 해결

브랜드가 판매하는 제품 수는 λ=5개/일의 포아송 분포를 따릅니다. 하루에 7개만 팔았을 확률은 얼마입니까? 그리고 하루에 3개 이하로 팔릴 확률은 얼마나 됩니까?

문제에 필요한 다양한 확률을 얻으려면 포아송 분포 공식(위 참조)을 적용해야 합니다. 따라서 이 공식을 사용하여 하루에 7개를 판매할 확률을 계산합니다.

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=7]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^7}{7!}\\[2ex]P[X=7]&=0,1044\end{aligned}$

둘째, 3개 이하의 단위를 판매할 누적 확률을 결정하라는 요청을 받았습니다. 따라서 이 확률을 구하려면 1개, 2개, 3개를 각각 판매할 확률을 계산한 후 합산해야 합니다.

$P[X\leq 3]=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]$

따라서 먼저 각 확률을 개별적으로 계산합니다.

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=1]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^1}{1!}\\[2ex]P[X=1]&=0,0337\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=2]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^2}{2!}\\[2ex]P[X=2]&=0,0842\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=3]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^3}{3!}\\[2ex]P[X=3]&=0,1404\end{aligned}$

다음으로 계산된 세 가지 확률을 추가하여 하루에 세 개 이하의 단위를 판매할 확률을 결정합니다.

$\begin{aligned}P[X\leq 3]&=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,0337+0,0842+0,1404\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,2583\end{aligned}$

포아송 분포의 특성

이번 포스팅에서는 포아송분포의 특징을 알아보겠습니다.

포아송 분포는 특정 기간 동안 연구된 사건이 발생할 것으로 예상되는 횟수를 나타내는 단일 특성 매개변수 λ로 정의됩니다.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

포아송 분포의 평균은 특성 매개변수 λ와 같습니다.

$E[X]=\lambda$

마찬가지로 포아송 분포의 분산은 특성 매개변수 λ와 동일합니다.

$Var(X)=\lambda$

λ가 정수인 경우 포아송 분포의 최빈값은 이봉형이고 그 값은 λ와 λ-1입니다. 대신, λ가 정수가 아닌 경우 포아송 분포의 최빈값은 λ보다 작거나 같은 가장 큰 정수입니다.

$\begin{array}{l}\lambda \in \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\{\lambda, \lambda-1\} \\[2ex]}\lambda \ \cancel{\in} \ \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\lfloor\lambda\rfloor\end{array}$

포아송 분포의 중앙값을 결정하는 특정 공식은 없지만 해당 구간을 찾을 수 있습니다.

$\lambda-\ln 2\leq Me < \lambda +\cfrac{1}{3}$

포아송 분포의 확률 함수는 다음과 같습니다.

$P[X=x]=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}$

독립 포아송 확률변수를 추가하면 특성 매개변수가 원래 변수 매개변수의 합인 또 다른 포아송 확률변수가 생성됩니다.

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Poisson}(\lambda_i) \quad i=1,\ldots,N\\[2ex] \displaystyle Y=\sum_{i=1}^N X_i\sim \text{Poisson}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\end{array}$