평균에 대한 신뢰구간

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 3, 2023 통계 댓글 0개

이 기사에서는 통계에서 평균에 대한 신뢰 구간이 무엇인지, 그리고 그 용도에 대해 설명합니다. 마찬가지로, 평균의 신뢰 구간을 계산하는 방법과 단계별 연습을 살펴보겠습니다.

평균의 신뢰구간은 얼마입니까?

평균에 대한 신뢰구간은 모집단의 평균에 허용되는 값의 범위를 제공하는 구간입니다. 즉, 평균에 대한 신뢰구간은 모집단 평균 값과 오차 한계를 연결하는 최대값과 최소값을 제공합니다.

예를 들어, 모집단 평균에 대한 95% 신뢰 구간이 (6.10)인 경우 이는 모집단 평균이 95%의 경우 6과 10 사이에 있음을 의미합니다.

따라서 평균의 신뢰구간은 모집단 평균이 있는 두 값을 추정하는 데 사용됩니다. 따라서 평균의 신뢰 구간은 모집단의 모든 값을 알 수 없는 경우 모집단의 평균을 근사하는 데 매우 유용합니다.

변수를 입력하는 과정이 다음과 같다고 가정합니다.

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

평균에 대한 신뢰 구간은 표본 평균에서 Z _α/2 의 값에 표준 편차(σ)를 곱하고 표본 크기(n)의 제곱근으로 나누어 더하고 빼서 계산됩니다. 따라서 평균의 신뢰구간을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

표본 크기가 크고 95% 신뢰 수준의 경우 임계값은 Z _α/2 = 1.96이고 99% 신뢰 수준의 경우 임계값은 Z _α/2 = 2.576입니다.

위의 공식은 모집단 분산이 알려진 경우에 사용됩니다. 그러나 모집단 분산을 알 수 없는 경우(대부분의 경우 )는 다음 공식을 사용하여 평균의 신뢰 구간을 계산합니다.

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

금:

모집단 평균에 대한 신뢰 구간이 어떻게 계산되는지 확인할 수 있도록 단계별로 해결되는 예를 아래에 남겨둡니다.

206 203 201 212
194 176 208 201

이전 섹션에서 살펴본 것처럼 모집단 표준편차를 모르는 경우 모집단 평균의 신뢰구간을 구하는 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

따라서 평균의 신뢰구간을 결정하기 위해서는 먼저 표본평균과 표준편차를 계산해야 합니다.

$\begin{array}{c}\mu =200,13 \\[4ex]s=11,13\end{array}$

신뢰 수준이 1-α=95%이고 표본 크기가 8인 신뢰 구간을 찾으려면 스튜던트 t 분포 테이블에 액세스하여 어떤 값이 t _0.025|7 에 해당하는지 확인해야 합니다.

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 7}=2,365\end{array}$

따라서 평균에 대한 신뢰 구간 공식을 적용하고 계산을 수행하여 구간의 한계를 찾습니다.

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

$\displaystyle \left(200,13-2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \ , \ 200,13+2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \right)$

$\displaystyle \left(190,82 \ , \ 209,43 \right)$

결론적으로, 계산된 신뢰 구간은 신뢰 수준이 95%일 때 모집단 평균이 190.82에서 209.43 사이에 있음을 알려줍니다.

안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기