신뢰 구간

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 3, 2023 통계 댓글 0개

이 기사에서는 통계의 신뢰 구간이 무엇인지, 그리고 그것이 무엇을 위해 사용되는지 설명합니다. 또한 신뢰 구간에 영향을 미치는 요인과 신뢰 구간 계산 방법을 확인할 수 있습니다.

신뢰 구간이란 무엇입니까?

통계에서 신뢰 구간은 모집단 매개변수의 값이 특정 신뢰 수준과 연결되는 값의 근사치를 제공하는 간격입니다. 가장 일반적인 신뢰 구간은 95% 또는 99%의 신뢰 수준을 갖습니다.

예를 들어, 신뢰 수준이 95%인 모집단의 평균에 대한 신뢰 구간이 (3.7)이면 연구 대상 모집단의 평균이 95% 확률로 3~7 사이에 있음을 의미합니다.

따라서 신뢰 구간은 모집단 매개변수가 있는 두 값을 추정하는 데 사용됩니다. 일반적으로 모집단 모수의 값을 알 수 없으므로 모집단 모수의 추정치를 얻기 위해 표본의 데이터로부터 신뢰구간을 계산합니다.

신뢰 구간의 정의를 확인한 후에는 개념을 더 잘 이해하기 위해 신뢰 구간이 의존하는 요소가 무엇인지 살펴보겠습니다.

표본 크기 : 연구된 관측치의 수는 신뢰 구간의 정밀도에 영향을 미칩니다. 데이터가 많을수록 더 많은 값을 추정할 수 있기 때문입니다. 일반적으로 표본 크기가 클수록 신뢰 구간의 너비는 작아집니다.
오차범위 : 허용오차가 클수록 신뢰구간이 커지므로 매개변수의 참값이 신뢰구간에 속할 확률이 높아진다. 그러나 오차 한계는 신뢰 구간의 정밀도를 감소시킵니다.
신뢰 수준 : 모집단 통계의 추정치가 신뢰 구간 내에 있을 확률입니다. 일반적으로 구간의 신뢰 수준은 1-α로 표시되며 백분율로 표시됩니다. 신뢰 수준이 높으면 참값이 구간 한계 사이에 있을 확률이 높아지지만 구간의 너비도 늘어납니다.
추정된 매개변수 : 신뢰구간은 근사화하려는 매개변수에 따라 달라집니다. 실제로 신뢰 구간을 계산하는 데 사용되는 공식은 근사 매개변수에 따라 달라집니다.

평균, 분산 또는 비율에 대한 신뢰 구간을 결정하려는지 여부에 따라 사용하는 공식이 다르기 때문에 각 유형의 신뢰 구간을 계산하는 데 적용되는 공식이 아래에 나와 있습니다.

변수를 입력하는 과정은 다음과 같이 수행됩니다.

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

평균에 대한 신뢰 구간은 표본 평균에서 Z _α/2 의 값에 표준 편차(σ)를 곱하고 표본 크기(n)의 제곱근으로 나누어 더하고 빼서 계산됩니다. 따라서 평균의 신뢰구간을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

표본 크기가 크고 95% 신뢰 수준의 경우 임계값은 Z _α/2 = 1.96이고 99% 신뢰 수준의 경우 임계값은 Z _α/2 = 2.576입니다.

위의 공식은 모집단 분산이 알려진 경우에 사용됩니다. 그러나 가장 일반적인 경우인 모집단 분산을 알 수 없는 경우 평균에 대한 신뢰 구간은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

금:

모집단 분산에 대한 신뢰 구간을 계산하려면 카이제곱 분포가 사용됩니다. 보다 구체적으로 분산에 대한 신뢰 구간을 계산하는 공식은 다음 과 같습니다.

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

금:

비율에 대한 신뢰 구간은 Z _α/2 값에 표본 비율(p)의 제곱근을 곱하고 1-p를 곱하고 표본 크기(n)로 나눈 값을 표본 비율에서 더하고 빼서 계산됩니다. 따라서 비율에 대한 신뢰 구간을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)$

금:

$p$

표본 비율입니다.
$n$

표본 크기입니다.
$Z_{\alpha/2}$

는 α/2의 확률에 해당하는 표준 정규 분포의 분위수입니다. 표본 크기가 크고 95% 신뢰 수준의 경우 일반적으로 1.96에 가깝고 99% 신뢰 수준의 경우 일반적으로 2.576에 가깝습니다.