준분산

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 3, 2023 통계 댓글 0개

이 기사에서는 통계에서 준분산이 무엇인지 설명합니다. 따라서 준분산을 계산하는 방법, 해결 방법, 준분산과 분산의 차이점을 알게 될 것입니다. 또한 온라인 계산기를 사용하여 모든 데이터 세트의 준분산을 계산할 수 있습니다.

준분산이란 무엇입니까?

통계에서 준분산은 표본의 변동성을 나타내는 분산 척도입니다. 더 정확하게 말하면, 준분산은 편차의 제곱의 합을 총 관측치 수에서 1을 뺀 값으로 나눈 것과 같습니다.

준분산의 기호는 다음과 같습니다.

$\sigma_{n-1}^2$

어느 하나

$s_{n-1}^2$

. 때로는 기호도 사용되지만

$\widehat{s}^2$

준분산을 표현합니다.

준분산은 편향을 피하면서 표본의 분산을 결정하는 데 사용되므로 편향되지 않은 분산이라고도 합니다. 따라서 준분산은 모집단 분산을 추정하는 좋은 방법입니다. 실제로 표본 분산을 계산할 때 분산 공식 대신 준분산 공식을 사용하는 경우가 많습니다. 아래에서는 이 두 가지 통계 측정값의 차이점에 대해 자세히 설명하겠습니다.

준분산 공식

준분산을 계산하려면 데이터 세트의 값과 평균 사이의 차이의 제곱합을 구한 다음 이를 전체 데이터 수에서 1을 뺀 값으로 나누어야 합니다.

따라서 준분산을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

금:

$\sigma_{n-1}^2$

준분산이다.
$x_i$

데이터 값입니다

$i$

.
$n$

총 데이터 개수입니다.
$\overline{X}$

데이터 세트의 평균입니다.

👉 아래 계산기를 사용하여 모든 데이터 세트의 준분산을 계산할 수 있습니다.

왜 n으로 나누지 않고 n-1로 나누는지 궁금할 것입니다. 글쎄, 그것은 편향을 제거하는 것에 관한 것입니다. 이렇게 하면 우리는 편향되지 않은 추정치를 얻습니다. 이것이 바로 준분산이 모집단 분산의 좋은 추정자인 이유입니다.

준분산 계산의 예

이제 준분산의 정의를 알았으므로 간단한 예를 풀어 데이터 계열의 준분산이 어떻게 계산되는지 살펴보겠습니다.

다국적 기업으로부터 우리는 지난 5년 동안의 경제적 결과를 알고 있습니다. 대부분은 이익을 얻었지만 1년 동안 상당한 손실을 입었습니다: 11.5, 2, -9, 700만 유로. 이 데이터 세트의 준분산을 계산합니다.

데이터 세트의 준분산을 얻기 위해 가장 먼저 해야 할 일은 산술 평균을 계산하는 것입니다.

$\overline{X}=\cfrac{11+5+2+(-9)+7}{5}=3,2$

그리고 데이터의 평균값을 알고 나면 준분산 공식을 적용합니다.

$\sigma_{n-1}^2=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{X}\right)^2}{n-1}$

따라서 운동 지침에서 제공한 데이터를 공식으로 대체합니다.

$\sigma_{n-1}^2=\cfrac{\displaystyle (11-3,2)^2+(5-3,2)^2+(2-3,2)^2+(-9-3,2)^2+(7-3,2)^2}{5-1}$

마지막으로 준분산을 계산하기 위한 연산을 해결하는 것으로 충분합니다.

$\begin{aligned}\sigma_{n-1}^2&=\cfrac{7,8^2+1,8^2+(-1,2)^2+(-12,2)^2+3,8^2}{5}\\[2ex]&=\cfrac{60,84+3,24+1,44+148,84+14,44}{5-1}\\[2ex]&= \cfrac{228,8}{4} \\[2ex]&=57,2 \ \text{millones de euros}^2\end{aligned}$

준분산의 단위는 통계 데이터의 단위와 동일하지만 제곱이므로 이 데이터 세트의 준분산은 57.2백만 ² 입니다.

➤ 참조: 준표준편차

준분산 계산기

준분산을 계산하려면 다음 계산기에 통계 데이터 세트를 입력하세요. 데이터는 공백으로 구분해야 하며 소수점 구분 기호로 마침표를 사용하여 입력해야 합니다.

분산과 준분산

마지막으로 준분산과 분산의 차이점을 살펴보겠습니다. 이름이 유사함에도 불구하고 매우 유사하게 계산되기 때문입니다.

준분산과 분산의 차이가 공식의 분모입니다. 준분산을 계산하려면 n-1로 나누어야 하지만, 분산은 n으로 나누어 계산합니다.

따라서 준분산과 분산은 수학적으로 관련되어 있습니다. 왜냐하면 준분산은 분산에 n(전체 데이터 포인트 수)을 곱하고 n-1로 나눈 것과 동일하기 때문입니다.

$\sigma_{n-1}^2=\cfrac{n}{n-1}\cdot \sigma^2$

따라서 동일한 데이터 세트의 경우 준분산 값은 항상 분산 값보다 큽니다.

➤ 참고: 편차 속성

저자 소개

벤자민 앤더슨

안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기