확률 이론

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 1, 2023 개연성 댓글 0개

이 기사에서는 확률 이론이 무엇인지, 그리고 어떤 용도로 사용되는지 설명합니다. 따라서 확률론의 기본 개념뿐만 아니라 확률론의 속성과 법칙도 알게 됩니다.

확률 이론이란 무엇입니까?

확률 이론은 무작위 현상의 확률을 계산하는 데 사용되는 일련의 규칙과 속성입니다. 따라서 확률 이론을 통해 무작위 실험의 어떤 결과가 발생할 가능성이 가장 높은지 알 수 있습니다.

무작위 현상은 결과를 예측할 수 없고 우연에 따라 달라지는 실험에서 얻을 수 있는 결과라는 점을 명심하세요. 따라서 확률 이론은 무작위 현상이 발생할 확률을 결정할 수 있는 일련의 법칙입니다.

예를 들어, 동전을 던지면 앞면 또는 뒷면이라는 두 가지 가능한 결과를 얻을 수 있습니다. 글쎄, 우리는 확률 이론을 사용하여 앞면이 나올 확률을 계산할 수 있는데, 이 경우에는 50%입니다.

역사를 통틀어 많은 사람들이 확률 이론의 발전에 기여했으며 그중 Cardano, Laplace, Gauss 및 Kolmogorov가 눈에 띕니다.

➤ 참고: 확률 공식

확률 이론의 기초

표본 공간

확률 이론에서 표본 공간은 무작위 실험에서 가능한 모든 결과의 집합입니다.

표본 공간의 기호는 그리스 대문자 오메가(Ω)이지만 대문자 E로 표시할 수도 있습니다.

예를 들어, 주사위를 굴릴 때의 표본 공간은 다음과 같습니다.

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

➤ 참고: 표본 공간

이벤트

확률 이론에서 사건 (또는 발생)은 무작위 실험의 가능한 결과입니다. 따라서 사건의 확률은 결과가 발생할 확률을 나타내는 값입니다.

예를 들어, 동전 던지기에는 “앞면”과 “뒷면”이라는 두 가지 이벤트가 있습니다.

다양한 유형의 이벤트가 있습니다:

기본 사건(또는 단순 사건): 실험에서 발생할 수 있는 각각의 결과.
복합 사건: 이것은 표본 공간의 부분 집합입니다.
특정 사건: 항상 발생하는 무작위 경험의 결과입니다.
불가능한 사건(Impossible Event): 결코 일어나지 않을 무작위 실험의 결과입니다.
호환 가능한 이벤트: 두 이벤트는 공통된 기본 이벤트가 있는 경우 호환됩니다.
호환되지 않는 이벤트: 기본 이벤트를 공유하지 않는 두 이벤트는 호환되지 않습니다.
독립 사건: 한 사건의 발생 확률이 다른 사건의 확률에 영향을 미치지 않는 경우 두 사건은 독립적입니다.
종속 사건: 한 사건의 발생 확률이 다른 사건의 확률을 변경하는 경우 두 사건은 종속적입니다.
다른 사건과 반대되는 사건: 다른 사건이 일어나지 않을 때 일어나는 사건.

➤ 참조: 이벤트 유형

확률의 공리

확률의 공리는 다음과 같습니다.

확률 공리 1 : 사건의 확률은 음수가 될 수 없습니다.

$0\leq P(A)\leq 1$

확률 공리 2 : 특정 사건이 발생할 확률은 1입니다.

$P(\Omega)=1$

확률 공리 3 : 일련의 호환되지 않는 사건의 확률은 모든 확률의 합과 같습니다.

$A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

➤ 참고: 확률의 공리

확률 속성

확률 속성은 다음과 같습니다.

한 사건의 확률은 1에서 반대 사건의 확률을 뺀 것과 같습니다.

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

불가능한 사건이 발생할 확률은 항상 0입니다.

$P(\varnothing)=0$

한 사건이 다른 사건에 포함되는 경우 첫 번째 사건의 확률은 두 번째 사건의 확률보다 작거나 같아야 합니다.

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

두 사건이 합쳐질 확률은 각 사건이 개별적으로 발생할 확률의 합에서 교차 확률을 뺀 것과 같습니다.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

2×2 비호환 사건 집합이 주어지면 각 사건의 발생 확률을 더하여 결합 확률을 계산합니다.

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

표본 공간의 모든 기본 사건의 확률의 합은 1과 같습니다.

$\Omega=\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$

$P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)=1$

➤ 참조: 확률의 속성

확률 규칙

라플라스의 법칙

라플라스의 법칙(Laplace’s rule) 은 표본 공간에서 사건이 발생할 확률을 계산하는 데 사용되는 확률론적 규칙입니다.

보다 구체적으로 말하면, 라플라스의 법칙은 어떤 사건이 발생할 확률은 유리한 경우의 수를 가능한 경우의 총 수로 나눈 것과 같다고 말합니다. 따라서 라플라스의 법칙의 공식은 다음과 같습니다.

$P(A)=\cfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

예를 들어 가방에 녹색 공 5개, 파란색 공 4개, 노란색 공 2개를 넣었다면 라플라스의 법칙을 사용하여 무작위로 녹색 공을 꺼낼 확률을 찾을 수 있습니다.

$P(\text{bola verde})=\cfrac{5}{5+4+2}=0,45$

➤ 참조: 라플라스 규칙(확률)

합계 규칙

확률 이론에서 합의 법칙 (또는 덧셈의 법칙)은 두 사건의 확률의 합은 각 사건이 별도로 발생할 확률의 합에서 두 사건이 동시에 발생할 확률을 뺀 것과 같다고 말합니다. 시간. .

따라서 덧셈 규칙의 공식은 다음과 같습니다.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

다음 링크에서 추가 규칙 적용에 대한 해결된 단계별 연습을 볼 수 있습니다.

➤ 참고: 덧셈 규칙(확률)

곱셈 규칙

곱셈 법칙(또는 곱의 법칙)은 두 개의 독립적인 사건이 발생할 확률이 각 사건이 발생할 확률의 곱과 같다고 말합니다.

따라서 곱셈 규칙의 공식은 다음과 같습니다.

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

그러나 곱셈 규칙의 공식은 사건이 독립인지 종속인지에 따라 달라집니다. 여기를 클릭하면 종속 사건에 대한 곱셈 규칙의 공식과 이 규칙을 적용하는 예를 볼 수 있습니다.

➤ 참조: 곱셈 규칙(확률)

저자 소개

벤자민 앤더슨

안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기