A와 b의 확률을 구하는 방법: 예 포함

두 사건 A와 B가 주어졌을 때 “A와 B의 확률을 찾는다”는 것은 사건 A와 사건 B가 모두 발생할 확률을 찾는 것을 의미합니다.

우리는 일반적으로 이 확률을 두 가지 방법으로 씁니다.

• P(A 및 B) – 서면 양식
• P(A∩B) – 형식 표기법

이 확률을 계산하는 방법은 사건 A와 B가 독립인지 종속인지에 따라 달라집니다.

A와 B가 독립 인 경우 P(A∩B)를 계산하는 데 사용하는 공식은 다음과 같습니다.

 Independent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B)

A와 B가 종속적 이면 P(A∩B)를 계산하는 데 사용하는 공식은 다음과 같습니다.

 Dependent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

P(B|A)는 주어진 조건에서 사건 B가 발생할 조건부 확률입니다.   이벤트 A가 발생합니다.

다음 예에서는 이러한 공식을 실제로 사용하는 방법을 보여줍니다.

독립 사건에 대한 P(A∩B)의 예

다음 예는 A와 B가 독립 사건일 때 P(A∩B)를 계산하는 방법을 보여줍니다.

예 1: 좋아하는 야구팀이 월드 시리즈에서 우승할 확률은 1/30이고, 좋아하는 축구팀이 슈퍼볼에서 우승할 확률은 1/32입니다. 당신이 가장 좋아하는 두 팀이 각각 챔피언십에서 우승할 확률은 얼마나 됩니까?

해결 방법: 이 예에서 각 사건이 발생할 확률은 서로 독립적입니다. 따라서 두 가지가 모두 발생할 확률은 다음과 같이 계산됩니다.

P(A∩B) = (1/30) * (1/32) = 1/960 = .00104.

예 2: 주사위를 굴리는 동시에 동전을 뒤집습니다. 주사위가 4가 나오고 동전이 뒷면이 나올 확률은 얼마입니까?

해결 방법: 이 예에서 각 사건이 발생할 확률은 서로 독립적입니다. 따라서 두 가지가 모두 발생할 확률은 다음과 같이 계산됩니다.

P(A∩B) = (1/6) * (1/2) = 1/12 = 0.083333.

종속 사건에 대한 P(A∩B)의 예

다음 예에서는 A와 B가 종속 사건일 때 P(A∩B)를 계산하는 방법을 보여줍니다.

예 1: 항아리에는 빨간색 공 4개와 녹색 공 4개가 있습니다. 항아리에서 공을 무작위로 선택합니다. 그런 다음 교체하지 않고 다른 공을 선택합니다. 매번 빨간 공을 선택할 확률은 얼마입니까?

해결 방법: 이 예에서 처음 선택한 공의 색상은 두 번째로 빨간 공을 선택할 확률에 영향을 미칩니다. 따라서 두 사건은 종속적입니다.

사건 A를 처음으로 빨간 공을 선택할 확률로 정의해 보겠습니다. 이 확률은 P(A) = 4/8입니다. 다음으로, 첫 번째 공이 빨간색 이었다면 다시 빨간색 공을 선택할 확률을 구해야 합니다. 이 경우 선택할 수 있는 빨간 공은 3개만 남았고 항아리 안에는 총 7개의 공만 있습니다. 따라서 P(B|A)는 3/7입니다.

따라서 매번 빨간 공을 선택할 확률은 다음과 같이 계산됩니다.

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (4/8) * (3/7) = 0.214.

예 2: 어떤 학급에는 남학생 15명, 여학생 12명이 있습니다. 각 학생의 이름을 가방에 넣어둔다고 가정해 보겠습니다. 우리는 가방에서 무작위로 이름을 선택합니다. 그런 다음 대체하지 않고 다른 이름을 선택합니다. 두 이름이 모두 남자일 확률은 얼마입니까?

해결 방법: 이 예에서 처음 선택한 이름은 두 번째 그림에서 남자아이의 이름을 선택할 확률에 영향을 미칩니다. 따라서 두 사건은 종속적입니다.

사건 A를 처음으로 남자아이를 선택할 확률로 정의해보자. 이 확률은 P(A) = 15/27입니다. 다음으로, 이름이 남자아이인 경우 , 다시 남자아이를 선택할 확률을 구해야 합니다. 이 경우 선택할 수 있는 소년은 14명뿐이고 가방에는 총 26명의 이름만 남습니다. 따라서 P(B|A)는 14/26입니다.

따라서 매번 남자아이의 이름을 선택할 확률은 다음과 같이 계산됩니다.

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (15/27) * (14/26) = 0.299.