T 테스트의 자유도를 계산하는 방법

통계에는 일반적으로 사용되는 세 가지 t-검정이 있습니다.

일표본 t-검정 : 모집단 평균을 특정 값과 비교하는 데 사용됩니다.

2-표본 t-검정 : 두 모집단 평균을 비교하는 데 사용됩니다.

대응 표본 t-검정 : 한 표본의 각 관측치가 다른 표본의 관측치와 연관될 수 있는 경우 두 모집단의 평균을 비교하는 데 사용됩니다.

각 t-검정을 실행할 때 검정 통계량과 해당 자유도를 계산해야 합니다.

각 테스트 유형에 대한 자유도를 계산하는 방법은 다음과 같습니다.

1-표본 t-검정: df = n-1 여기서 n 은 총 관측치 수입니다.

2-표본 t-검정: df = n ₁ + n ₂ – 2 여기서 n ₁ , n ₂ 는 각 표본의 총 관측값입니다.

쌍을 이루는 표본 t-검정: n-1 여기서 n 은 쌍의 총 개수입니다.

다음 예는 실제로 각 t-검정 유형에 대한 자유도를 계산하는 방법을 보여줍니다.

예 1: 단일 표본 t-검정의 자유도

특정 거북이 종의 평균 무게가 310파운드인지 알고 싶다고 가정해 보겠습니다.

다음 정보를 사용하여 무작위로 거북이 샘플을 수집한다고 가정합니다 .

• 표본 크기 n = 40
• 평균 샘플 중량 x = 300
• 표본 표준편차 s = 18.5

다음 가설을 사용하여 단일 표본 t-검정을 수행합니다.

• H ₀ : μ = 310 (인구 평균은 310권과 동일)
• H _A : μ ≠ 310 (인구 평균은 310파운드와 동일하지 않음)

먼저 테스트 통계량을 계산합니다.

t = ( x – μ) / (s/ √n ) = (300-310) / (18.5/ √40 ) = -3.4187

다음으로 자유도를 계산하겠습니다.

df = n -1 = 40 – 1 = 39

마지막으로 테스트 통계와 자유도를 P-값 T-점수 계산기 에 연결하여 p-값이 0.00149 임을 알아냅니다.

이 p-값은 유의 수준 α = 0.05보다 낮으므로 귀무 가설을 기각합니다. 우리는 이 거북 종의 평균 체중이 310파운드가 아니라는 충분한 증거를 가지고 있습니다.

예 2: 2-표본 t-검정의 자유도

서로 다른 두 종의 거북이의 평균 무게가 같은지 여부를 알고 싶다고 가정해 보겠습니다.

다음 정보를 사용하여 각 개체군에서 무작위로 거북이 표본을 수집한다고 가정합니다.

샘플 1:

• 표본 크기 n ₁ = 40
• 평균 샘플 중량 x ₁ = 300
• 표본 표준 편차 s ₁ = 18.5

샘플 2:

• 표본 크기 n ₂ = 38
• 평균 샘플 중량 x ₂ = 305
• 표본 표준 편차 s ₂ = 16.7

다음 가정을 사용하여 2-표본 t-검정을 수행합니다.

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (두 모집단 평균이 동일함)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (두 모집단 평균이 동일하지 않음)

먼저 합동 표준편차 s _{p 를} 계산합니다.

s _p = √ (n ₁ -1)s ₁ ² + (n ₂ -1)s ₂ ² / (n ₁ +n ₂ -2) = √ ( 40-1)18.5 ² + (38-1) 16.7 ² / (40+38-2) = 17.647

다음으로 t -test 통계량을 계산합니다.

t = ( x ₁ – x ₂ ) / s _p (√ 1/n ₁ + 1/n ₂ ) = (300-305) / 17.647(√ 1/40 + 1/38 ) = -1.2508

다음으로 자유도를 계산하겠습니다.

df = _n1 + _n2 – 2 = 40 + 38 – 2 = 76

마지막으로 테스트 통계와 자유도를 P-값 T-점수 계산기 에 연결하여 p-값이 0.21484 라는 것을 알아냅니다.

이 p-값은 유의 수준 α = 0.05보다 낮지 않으므로 귀무 가설을 기각할 수 없습니다. 이 두 개체군 사이의 거북이 평균 체중이 다르다고 말할 수 있는 충분한 증거가 없습니다.

예 3: 쌍을 이루는 표본 t-검정의 자유도

특정 훈련 프로그램이 대학 농구 선수의 최대 수직 점프(인치)를 증가시킬 수 있는지 여부를 알고 싶다고 가정해 보겠습니다.

이를 테스트하기 위해 대학 농구 선수 20명의 단순 무작위 표본을 모집하고 각각의 최대 수직 점프를 측정할 수 있습니다. 그런 다음 각 선수에게 한 달 동안 훈련 프로그램을 사용하게 한 다음 월말에 최대 수직 점프를 다시 측정할 수 있습니다.

훈련 프로그램이 실제로 최대 수직 점프에 영향을 미쳤는지 확인하기 위해 쌍 샘플 t-테스트를 수행합니다.

먼저 차이점에 대해 다음 요약 데이터를 계산합니다.

• x _diff : 차이의 표본 평균 = -0.95
• s: 차이의 표본 표준 편차 = 1.317
• n: 표본 크기(즉, 쌍 수) = 20

다음 가정을 사용하여 대응 표본 t-검정을 수행합니다.

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (두 모집단 평균이 동일함)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (두 모집단 평균이 동일하지 않음)

다음으로 테스트 통계를 계산합니다.

t = x _차이 / (s _차이 /√n) = -0.95 / (1.317/√20) = -3.226

다음으로 자유도를 계산하겠습니다 .

df = n – 1 = 20 – 1 = 19

P 값 계산기에 대한 T 점수 에 따르면 t = -3.226 및 자유도 = n-1 = 20-1 = 19와 관련된 p 값은 0.00445 입니다.

이 p-값은 유의 수준 α = 0.05보다 낮으므로 귀무 가설을 기각합니다. 훈련 프로그램에 참여하기 전과 후에 선수들의 평균 최대 수직 점프가 다르다는 증거는 충분합니다.

추가 리소스

다음 계산기를 사용하여 제공한 데이터를 기반으로 t-테스트를 자동으로 수행할 수 있습니다.

t-테스트 계산기의 예
2-표본 t-검정 계산기
쌍체 표본 t-검정 계산기