감마 분포

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 3, 2023 개연성 댓글 0개

이 문서에서는 감마 분포의 정의와 용도에 대해 설명합니다. 따라서 감마 분포의 정의, 해당 속성 및 그래픽 표현의 모양을 확인할 수 있습니다.

감마 분포란 무엇입니까?

감마 분포는 두 가지 특성 매개변수 α와 λ로 정의되는 연속 확률 분포입니다. 즉, 감마 분포는 두 매개변수의 값에 따라 달라집니다. α는 모양 매개변수이고 λ는 척도 매개변수입니다.

감마 분포의 기호는 그리스 대문자 Γ입니다. 따라서 확률 변수가 감마 분포를 따르는 경우 다음과 같이 작성됩니다.

$X\sim \Gamma(\alpha,\lambda)$

감마 분포는 형상 매개변수 k = α 및 역 스케일 매개변수 θ = 1/λ를 사용하여 매개변수화할 수도 있습니다. 모든 경우에 감마 분포를 정의하는 두 매개변수는 양의 실수입니다.

일반적으로 감마 분포는 오른쪽으로 치우친 데이터 세트를 모델링하는 데 사용되므로 그래프 왼쪽에 데이터가 더 많이 집중됩니다. 예를 들어, 감마 분포는 전기 부품의 신뢰성을 모델링하는 데 사용됩니다.

감마 분포 다이어그램

감마 분포 그래프는 특성 매개변수의 값에 따라 달라집니다. 아래에서는 감마 분포의 밀도 함수가 모양 매개변수와 배율 매개변수에 따라 어떻게 달라지는지 확인할 수 있습니다.

반면, 아래 감마 분포의 누적 확률 함수 그래프를 볼 수 있습니다.

감마 분포의 특성

그러면 감마 분포의 특징이 무엇인지 살펴보겠습니다.

감마 분포의 그래프는 두 가지 특성 매개변수로 완전히 정의됩니다. α는 모양 매개변수이고 λ는 척도 매개변수입니다.

$\alpha , \lambda >0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”16″ width=”62″ style=”vertical-align: -4px;”></p> </p> <ul> <li> 감마 분포의 영역은 양수로만 구성됩니다.</li> </ul> <p class=$ $x\in (0,+\infty)$

감마 분포의 평균은 형상 매개변수와 척도 매개변수 간의 비율, 즉 α/λ와 같습니다.

$E[X]=\cfrac{\alpha}{\lambda}$

감마 분포의 분산은 모양 매개변수를 척도 매개변수의 제곱으로 나눈 것과 같습니다.

$Var(X)=\cfrac{\alpha}{\lambda^2}$

α 값이 1보다 작은 경우 최빈값은 0입니다. 그러나 α가 1보다 크거나 같으면 감마 분포의 최빈값은 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.

$\begin{array}{c}Mo=0 \qquad \text{para } \alpha<1\\[2ex]Mo=\cfrac{\alpha-1}{\lambda} \qquad \text{para } \alpha\geq1\end{array}$

감마 분포의 밀도 함수 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle f(x)=\frac{\lambda(\lambda x)^{\alpha-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)}$

여기서 Γ는 다음과 같이 정의되는 감마 함수입니다.

$\displaystyle \Gamma(\alpha)=\int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-t}dt$

감마 분포로 정의된 확률 변수의 누적 분포 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle F(x)=\int_0^x\frac{\lambda(\lambda y)^{\alpha-1}e^{-\lambda y}}{\Gamma(\alpha)}\;dy$

형상 매개변수 α가 1이면 감마 분포는 척도 매개변수 λ가 동일한 지수 분포와 동일합니다.

$X\sim \Gamma(1,\lambda) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ X\sim \text{Exp}(\lambda)$

척도 모수 λ가 평균인 경우 감마 분포는 카이제곱 분포 의 특별한 경우입니다.

$\displaystyle X\sim \Gamma\left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right) \text{con } n\in \mathbb{N}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ X\sim \chi_n^2$

저자 소개

벤자민 앤더슨

안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기

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감마 분포 다이어그램

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