곱셈 규칙

이 기사에서는 곱셈 규칙이라고도 불리는 곱셈 규칙이 확률 이론에서 무엇인지 설명합니다. 따라서 곱셈 규칙의 공식이 무엇인지, 곱셈 규칙을 사용하여 확률을 계산하는 방법에 대한 예, 그리고 연습할 수 있는 몇 가지 해결 연습을 찾을 수 있습니다.

곱셈 규칙은 사건이 독립인지 종속인지에 따라 달라지므로 먼저 독립 사건에 대한 규칙과 나중에 종속 사건에 대한 규칙이 어떻게 보이는지 살펴보겠습니다.

독립 사건의 곱셈 규칙

독립적인 사건은 발생 확률이 서로 의존하지 않는 통계적 실험의 결과라는 점을 기억하세요. 즉, 사건 A가 발생할 확률이 사건 B의 발생에 의존하지 않고 그 반대의 경우에도 두 사건 A와 B는 독립적입니다.

독립 사건의 곱셈 규칙 공식

따라서 독립 사건의 곱셈 규칙 공식은 다음과 같습니다.

금:

• 

  그리고

  

  이는 두 개의 독립적인 사건입니다.

• 

  사건 A와 사건 B가 발생할 결합 확률입니다.

• 

  사건 A가 일어날 확률이다.

• 

  사건 B가 일어날 확률이다.

독립 사건에 대한 곱셈 규칙의 예

• 동전은 세 번 연속으로 던져집니다. 세 번 던져 모두 앞면이 나올 확률을 계산합니다.

이 경우, 공동 확률을 계산하려는 이벤트는 독립적입니다. 왜냐하면 추첨 결과는 이전 추첨에서 얻은 결과에 의존하지 않기 때문입니다. 따라서 세 번 연속 앞면이 나올 공동 확률을 결정하려면 독립 사건에 대한 곱셈 규칙 공식을 사용해야 합니다.

동전을 던질 때 가능한 결과는 두 가지뿐입니다. 앞면이 나오거나 뒷면이 나올 수 있습니다. 따라서 동전을 던질 때 앞면이 나오거나 뒷면이 나올 확률은 다음과 같습니다.

따라서 세 번의 동전 던지기에서 모두 앞면이 나올 확률을 찾으려면 앞면이 나올 확률에 3을 곱해야 합니다.

즉, 3번 연속 앞면이 나올 확률은 12.5%입니다.

아래에는 가능한 모든 이벤트가 트리 다이어그램의 확률로 표시되어 있습니다. 이렇게 하면 결합 확률을 얻기 위해 따랐던 프로세스를 더 잘 볼 수 있습니다.

종속 사건의 곱셈 규칙

이제 독립 사건에 대한 곱셈 규칙이 무엇인지 살펴보았으므로 공식이 약간 다르기 때문에 종속 사건에 대한 이 법칙이 어떻게 나타나는지 살펴보겠습니다.

종속 사건은 발생 확률이 서로 의존하는 무작위 실험의 결과라는 점을 기억하십시오. 즉, 한 사건이 발생할 확률이 다른 사건이 발생할 확률에 영향을 미치는 경우 두 사건은 종속적입니다.

종속 사건에 대한 곱셈 규칙 공식

따라서 종속 사건에 대한 곱셈 규칙의 공식은 다음과 같습니다.

금:

• 

  그리고

  

  이는 두 가지 종속 이벤트입니다.

• 

  사건 A와 사건 B가 일어날 확률이다.

• 

  사건 A가 일어날 확률이다.

• 

  사건 A가 주어졌을 때 사건 B가 발생할 조건부 확률입니다.

종속 사건에 대한 곱셈 규칙의 예

• 빈 상자에 파란색 공 8개, 주황색 공 4개, 녹색 공 2개를 넣습니다. 첫 번째 공을 상자에 다시 넣지 않고 먼저 공 하나를 뽑은 다음 다른 공을 뽑는 경우 첫 번째 공이 파란색이고 두 번째 공이 주황색일 확률은 얼마입니까?

이 경우 이벤트는 종속적입니다. 두 번째 추첨에서 주황색 공을 집어들 확률은 첫 번째 추첨에서 추첨된 공의 색상에 따라 달라지기 때문입니다. 따라서 결합 확률을 계산하려면 종속 사건에 대한 곱셈 규칙 공식을 사용해야 합니다.

첫 번째 추첨에서 파란색 공을 얻을 확률은 쉽게 결정할 수 있습니다. 간단히 파란색 공의 수를 총 공 수로 나누면 됩니다.

반면, 파란색 공을 가져온 후 주황색 공을 뽑을 확률은 주황색 공의 개수가 다르고 상자 안에 공이 하나 적기 때문에 다르게 계산됩니다.

따라서 파란색 공을 먼저 뽑은 다음 주황색 공을 뽑을 공동 확률은 위에서 찾은 두 확률을 곱하여 계산됩니다.

곱셈 규칙의 해결 연습

연습 1

한 마을에는 어린이집이 3개뿐입니다. 어린이의 60%는 어린이집 A에, 30%는 어린이집 B, 10%는 어린이집 C에갑니다. 게다가 세 개의 어린이집에는 55%의 어린이가 여자아이입니다. 다음 확률을 계산합니다.

• B 어린이집에서 무작위로 뽑힌 아이가 여자아이일 확률.
• 어느 어린이집에서든 무작위로 아이를 뽑았을 때 남자아이가 될 확률.

모든 어린이집의 여아 비율이 55%인 경우 남아의 비율은 간단히 1에서 0.55를 빼서 계산됩니다.

이제 모든 확률을 알았으므로 모든 가능성의 확률로 트리를 만들 수 있습니다.

이 경우, 사건은 독립적입니다. 왜냐하면 그 사람이 남자아이인지 여자아이일 확률은 선택한 어린이집에 의존하지 않기 때문입니다. 따라서 어린이집 B에서 무작위로 여자아이를 선택할 확률을 찾으려면 어린이집 B를 선택할 확률에 여자아이를 선택할 확률을 곱해야 합니다.

반면, 어떤 어린이집에서 남자아이를 선택할 확률을 결정하려면 먼저 각 어린이집에서 남자아이를 선택할 확률을 계산한 다음 이를 합산해야 합니다.

연습 2

한 국가의 25개 기업을 대상으로 회계연도를 조사하고, 해당 기업의 주가가 해당 연도의 경제적 결과에 따라 어떻게 변하는지를 조사했습니다. 다음 분할표에서 수집된 데이터를 볼 수 있습니다.

회사가 이익을 내고 주가도 상승할 가능성은 얼마나 됩니까?

이 경우, 주식의 상승 또는 하락 확률은 경제적 결과에 따라 달라지기 때문에 사건은 종속적입니다. 따라서 종속 사건에 대해 곱셈 규칙 공식을 적용해야 합니다.

따라서 우리는 먼저 회사가 이익을 낼 확률을 계산하고, 두 번째로 회사가 경제적 이익을 얻었을 때 회사의 주가가 상승할 확률을 계산합니다.

다음으로 계산된 값을 공식에 대입하고 결합 확률을 계산합니다.