대비 통계

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 3, 2023 통계 댓글 0개

이 기사에서는 대비 통계가 무엇인지, 대비 통계에 대한 가장 일반적인 공식은 무엇인지, 그리고 대비 통계, 거부 영역 및 수용 영역 간의 관계에 대해 설명합니다.

대비 통계란 무엇입니까?

대비 통계 는 연구 가설과 관련된 확률 분포가 알려진 변수입니다. 특히 대비 통계는 귀무 가설을 기각하거나 수락하기 위해 가설 검정에 사용됩니다.

실제로 가설검정의 귀무가설 기각 여부는 검정 통계량의 값에 따라 결정됩니다. 검정 통계량의 값이 기각 영역에 속하면 귀무 가설이 기각됩니다. 반면에 검정 통계량의 값이 수용 영역 내에 속하면 귀무 가설이 채택됩니다.

➤ 참고: 가설 검정(통계)

대비 통계 공식

가설 검정 유형에 따라 검정 통계량의 분포가 다릅니다. 따라서 검정 통계량의 공식은 가설 검정 유형에 따라 달라집니다. 그럼 다음에는 가설검정의 종류에 따라 검정통계량이 어떻게 계산되는지 알아보겠습니다.

평균 대비 통계

알려진 분산이 있는 평균에 대한 가설 검정 통계의 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

금:

$Z$

평균에 대한 가설 검정 통계량입니다.
$\overline{x}$

샘플 수단입니다.
$\mu$

제안된 평균값입니다.
$\sigma$

모집단 표준편차입니다.
$n$

표본 크기입니다.

평균에 대한 가설 대비 통계가 계산되면 결과는 귀무 가설을 기각하거나 기각하는 것으로 해석되어야 합니다.

평균에 대한 가설 검정이 양측인 경우 통계의 절대값이 임계값 Z _α/2 보다 크면 귀무가설이 기각됩니다.
평균에 대한 가설 검정이 오른쪽 꼬리와 일치하는 경우 통계량이 임계값 _Zα 보다 크면 귀무가설이 기각됩니다.
평균에 대한 가설 검정이 왼쪽 꼬리와 일치하는 경우 통계량이 임계값 -Z _α 보다 작으면 귀무가설이 기각됩니다.

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

이 경우 표준화된 정규분포표에서 임계값을 구한다.

반면, 분산을 알 수 없는 평균에 대한 가설 검정 통계의 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

금:

$t$

는 스튜던트 t 분포로 정의되는 평균에 대한 가설 검정 통계량입니다.
$\overline{x}$

샘플 수단입니다.
$\mu$

제안된 평균값입니다.
$s$

표본 표준편차입니다.
$n$

표본 크기입니다.

이전과 마찬가지로 대비 통계의 계산된 결과는 귀무 가설을 기각할지 여부를 결정하는 임계값으로 해석되어야 합니다.

평균에 대한 가설 검정이 양측인 경우 통계의 절대값이 임계값 t _α/2|n-1 보다 크면 귀무가설이 기각됩니다.
평균에 대한 가설 검정이 오른쪽 꼬리와 일치하는 경우 통계량이 임계값 t _α|n-1 보다 크면 귀무가설이 기각됩니다.
평균에 대한 가설 검정이 왼쪽 꼬리와 일치하는 경우 통계가 임계값 -t _α|n-1 보다 작으면 귀무가설이 기각됩니다.

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

분산을 알 수 없는 경우 스튜던트 분포표에서 중요한 검정 값을 얻습니다.

➤ 참고: 평균에 대한 가설 검정

비율에 대한 대비 통계

비율에 대한 가설 검정 통계의 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

금:

$Z$

비율에 대한 가설 검정 통계량입니다.
$\widehat{p}$

표본 비율입니다.
$p$

제안된 비율 값입니다.
$n$

표본 크기입니다.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

비율의 표준편차입니다.

비율에 대한 가설 검정 통계량을 계산하는 것만으로는 충분하지 않지만 결과는 다음과 같이 해석되어야 합니다.

비율에 대한 가설 검정이 양측인 경우 통계의 절대값이 임계값 Z _α/2 보다 크면 귀무가설이 기각됩니다.
비율에 대한 가설 검정이 오른쪽 꼬리와 일치하는 경우 통계량이 임계값 _Zα 보다 크면 귀무가설이 기각됩니다.
비율에 대한 가설 검정이 왼쪽 꼬리와 일치하는 경우 통계량이 임계값 -Z _α 보다 작으면 귀무가설이 기각됩니다.

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

표준정규분포표에서 임계값을 쉽게 얻을 수 있다는 점을 기억하세요.

➤ 참고: 비율에 대한 가설 검정

분산에 대한 대비 통계

분산에 대한 가설 검정 통계량을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

금:

$\chi^2$

카이제곱 분포를 갖는 분산에 대한 가설 검정 통계입니다.
$n$

표본 크기입니다.
$s^2$

표본 분산입니다.
$\sigma^2$

제안된 모집단의 분산입니다.

통계 결과를 해석하려면 얻은 값을 테스트의 임계값과 비교해야 합니다.

분산에 대한 가설 검정이 양측 검정인 경우 통계량이 임계값보다 크면 귀무가설이 기각됩니다.
$\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$

또는 임계값이 다음보다 작은 경우

$\chi_{\alpha/2|n-1}$

.
분산에 대한 가설 검정이 오른쪽 꼬리와 일치하는 경우 통계량이 임계값보다 크면 귀무가설이 기각됩니다.
$\chi_{1-\alpha|n-1}^2$

.
분산에 대한 가설 검정이 왼쪽 꼬리와 일치하는 경우 통계량이 임계값보다 작으면 귀무가설이 기각됩니다.
$\chi_{\alpha|n-1}$

.

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

분산에 대한 임계 가설 검정 값은 카이제곱 분포표에서 얻습니다. 카이제곱 분포의 자유도는 표본 크기에서 1을 뺀 값입니다.

➤ 참고: 분산 가설 검정

대비 통계, 거부 영역 및 수용 영역

가설 검정에서 기각 영역은 귀무 가설의 기각(및 대립 가설의 수용)을 의미하는 검정 통계량 분포 그래프의 영역입니다. 반면, 수용 영역은 귀무 가설의 수용(및 대립 가설의 기각)을 암시하는 검정 통계량의 분포 그래프 영역입니다.

따라서 대비 통계량의 값은 다음과 같은 방식으로 가설 검정의 결과를 결정합니다.

검정 통계량이 기각 영역에 속하면 귀무가설이 기각되고 대립가설이 채택됩니다.
검정 통계량이 수용 영역 내에 속하면 귀무 가설이 채택되고 대립 가설이 기각됩니다.

거부 영역과 합격 영역을 구분하는 값을 임계값 이라고 합니다. 따라서 기각 영역과 수용 영역의 경계를 알기 위해서는 임계값을 계산해야 하며, 이를 통해 언제 귀무 가설을 기각하고 언제 받아들여야 하는지 알 수 있습니다.

➤ 참조: 임계 값

저자 소개

벤자민 앤더슨

안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기