레일리 분포 소개

레일리 분포(Rayleigh distribution)는 0보다 크거나 같은 값만 취할 수 있는 확률 변수를 모델링하는 데 사용되는 연속 확률 분포입니다.

다음과 같은 확률 밀도 함수를 갖습니다.

f(x; σ) = (x/σ ² )e ^{-x 2 /(2σ 2 )}

여기서 σ는 분포의 척도 모수입니다.

레일리 분포의 속성

레일리 분포에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

• 평균: σ√ π/2
• 편차: ((4-π)/2)σ ²
• 모드: σ

π는 알려진 숫자 값을 가지므로 다음과 같이 속성을 단순화할 수 있습니다.

• 평균: 1.253σ
• 편차: 0.429σ ²
• 모드: σ

레일리 분포의 시각화

다음 그래프는 척도 모수에 대해 서로 다른 값을 취하는 레일리 분포의 모양을 보여줍니다.

척도 모수 σ의 값이 클수록 분포가 넓어집니다.

보너스: 궁금한 분들을 위해 다음 R 코드를 사용하여 위 그래프를 생성했습니다.

 #load VGAM package
library (VGAM)

#create density plots
curve(drayleigh(x, scale = 0.5), from=0, to=10, col='green')
curve(drayleigh(x, scale = 1), from=0, to=10, col='red', add=TRUE)
curve(drayleigh(x, scale = 2), from=0, to=10, col='blue', add=TRUE)
curve(drayleigh(x, scale = 4), from=0, to=10, col='purple', add=TRUE)

#add legend
legend(6, 1, legend=c("σ=0.5", "σ=1", "σ=2", "σ=4"),
       col=c("green", "red", "blue", "purple"), lty=1, cex=1.2)

다른 배포판과의 관계

레일리 분포는 다른 확률 분포와 다음과 같은 관계를 갖습니다.

1. 척도 모수(σ) 가 1이면 레일리 분포는 자유도가 2인 카이제곱 분포와 같습니다.

2. 레일리(Rayleigh) 분포는 형상 매개변수 k = 2를 갖는 Weibull 분포의 특별한 경우입니다.

3. 척도 모수 σ를 갖는 Rayleigh 분포는 Rice(0, σ)를 갖는 Rice 분포와 같습니다.

응용

실제로 레일리 분포는 다음을 포함한 다양한 응용 분야에 사용됩니다.

1. 레일리(Rayleigh) 분포는 파도가 정점에 도달하는 데 걸리는 시간과 파도가 도달하는 최대 높이를 포함하여 바다의 파도 동작을 모델링하는 데 사용됩니다.

2. 레일리 분포는 일반적으로 MRI로 알려진 자기공명영상에서 배경 데이터의 동작을 모델링하는 데 사용됩니다.

3. 레일리 분포는 영양 분야에서 인간과 동물의 영양 수준과 영양 반응 사이의 관계를 모델링하는 데 사용됩니다.

추가 리소스

다음 자습서에서는 통계의 다른 분포에 대한 추가 정보를 제공합니다.

정규분포 소개
이항분포 소개
포아송 분포 소개