베르누이 분포

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 4, 2023 개연성 댓글 0개

이 기사에서는 베르누이 분포가 무엇인지, 그리고 그 공식이 무엇인지 설명합니다. 또한 Bernoulli 분포의 속성과 그 의미를 더 잘 이해하기 위한 해결 방법을 찾을 수 있습니다.

베르누이 분포란 무엇입니까?

이분 분포 라고도 알려진 베르누이 분포는 “성공” 또는 “실패”라는 두 가지 결과만 가질 수 있는 이산형 변수를 나타내는 확률 분포입니다.

베르누이 분포에서 “성공”은 우리가 기대하는 결과이고 값이 1인 반면, “실패”의 결과는 기대한 것과 다른 결과이며 값이 0입니다. 따라서 ” 성공”은 p 이고, “실패” 결과의 확률은 q=1-p 입니다.

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

베르누이 분포는 스위스 통계학자 Jacob Bernoulli의 이름을 따서 명명되었습니다.

통계에서 베르누이 분포는 주로 성공과 실패라는 두 가지 가능한 결과만 있는 실험의 확률을 정의하는 용도로 사용됩니다. 따라서 베르누이 분포를 사용하는 실험을 베르누이 테스트 또는 베르누이 실험이라고 합니다.

베르누이 분포 공식

p 가 “성공” 결과가 발생할 확률인 경우 베르누이 분포의 확률은 x 로 올린 p 에 1- x 로 올린 1-p를 곱한 것과 같습니다. 따라서 베르누이 분포의 확률은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다 .

베르누이 분포에서 x 값은 0(실패) 또는 1(성공)만 될 수 있습니다.

한편, 이전 공식은 다음과 같은 동등한 표현식을 사용하여 작성할 수도 있습니다.

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.$

베르누이 분포의 예

이제 베르누이 분포의 정의와 공식이 무엇인지 알았으니 베르누이 분포의 구체적인 예를 살펴보겠습니다.

게임에서 승리하려면 플레이어가 주사위를 굴려 2를 얻어야 합니다. 그렇지 않으면 다른 플레이어가 게임에서 승리하여 게임에서 패배하게 됩니다. 성공 및 실패 확률을 계산합니다.

주사위에는 6가지 가능한 결과(1, 2, 3, 4, 5, 6)가 있으므로 이 경우 실험의 표본 공간은 다음과 같습니다.

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

우리의 경우 유일한 성공 사례는 숫자 2를 얻는 것입니다. 따라서 라플라스의 규칙을 적용할 때 성공 확률은 1을 가능한 결과의 총 개수(6)로 나눈 값과 같습니다.

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

반면, 주사위를 굴릴 때 다른 숫자가 나타나면 플레이어는 게임에서 패하게 되므로 실험 결과는 실패로 간주됩니다. 따라서 이 확률은 1에서 이전에 계산된 확률을 뺀 것과 같습니다.

$q=1-p=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}=0,8333$

간단히 말해서, 이 실험의 베르누이 분포는 다음 식으로 정의됩니다.

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}\cfrac{5}{6} & \text{si } x=0\\[4ex]\cfrac{1}{6} & \text{si } x=1\end{array}\right.$

아래에서 볼 수 있듯이 베르누이 분포의 확률은 위에서 본 공식을 적용하여 구할 수도 있습니다.

$P[X=x]=p^x\cdot (1-p)^{1-x}$

$\displaystyle P[X=0]=\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-0}=\cfrac{5}{6}$

$\displaystyle P[X=1]=\left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-1}=\cfrac{1}{6}$

베르누이 분포의 특성

베르누이 분포의 가장 중요한 특징은 다음과 같습니다.

베르누이 분포는 1(성공) 또는 0(실패) 값만 가질 수 있습니다.

$x=\{0\ ; 1\}$

베르누이 분포의 평균은 “성공” 결과가 발생할 확률과 동일합니다.

$E[X]=p$

베르누이 분포의 분산은 “성공”과 “실패”라는 결과가 발생할 확률을 곱하여 계산할 수 있습니다. 또는 동등하게 분산은 p 곱하기 1-p 입니다.

$Var(X)=p\cdot q=p\cdot (1-p)$

베르누이 분포 모드의 값은 “성공” 및 “실패” 확률에 따라 달라집니다. 따라서 이러한 유형의 분포 모드는 다음 표현식으로 정의됩니다.

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<ul><li> The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:</li></ul>[latex] \displaystyle P[X=x]= \left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

*** Error message:
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한편, 베르누이 분포의 누적 확률 함수는 다음 식으로 정의됩니다.

$\displaystyle P[X\leq x]=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } x<0\\[2ex]1-p& \text{si }0 \leq x<1\\[2ex]1 & \text{si } x\geq 1\end{array}\right.$

베르누이 분포의 비대칭 계수는 다음 식으로 계산됩니다.

$A=\cfrac{q-p}{\sqrt{p\cdot q}}$

마찬가지로 베르누이 분포의 첨도는 매개변수 p 의 값에 따라 달라지며 다음 공식을 적용하여 찾을 수 있습니다.

$C=\cfrac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}$

베르누이 분포와 이항 분포

이 섹션에서는 베르누이 분포와 이항 분포가 두 가지 유형의 관련 확률 분포이므로 차이점을 살펴보겠습니다.

이항 분포는 일련의 베르누이 시행에서 얻은 “성공적인” 결과의 수를 계산합니다. 이러한 베르누이 실험은 독립적이어야 하지만 동일한 성공 확률을 가져야 합니다.

따라서 이항 분포는 Bernoulli 분포를 따르는 변수 집합의 합이며 모두 동일한 매개변수 p 로 정의됩니다.

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\displaystyle \sum_{i=1}^nX_i\sim \text{Bin}(n,p)\end{array}$

따라서 베르누이 분포에는 베르누이 실험이 하나만 있는 반면, 이항 분포에는 일련의 베르누이 실험이 있습니다.

저자 소개

벤자민 앤더슨

안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기