통계에서 베타 수준이란 무엇입니까? (정의 & #038; 예)

통계에서는 모집단 매개변수 에 대한 가설이 참인지 여부를 확인하기 위해 가설 검정을 사용합니다.

가설 검정에는 항상 다음과 같은 두 가지 가설이 있습니다.

귀무가설(H ₀ ): 표본 데이터는 모집단 모수에 관한 지배적인 믿음과 일치합니다.

대립 가설( _HA ): 표본 데이터는 귀무 가설에 명시된 가설이 사실이 아님을 시사합니다. 즉, 무작위가 아닌 원인이 데이터에 영향을 미칩니다.

가설 검정을 수행할 때마다 항상 네 가지 결과가 나올 수 있습니다.

우리가 범할 수 있는 실수에는 두 가지 유형이 있습니다.

• 제1종 오류: 귀무가설이 실제로 참인데 귀무가설을 기각합니다. 이러한 유형의 오류가 발생할 확률은 α 로 표시됩니다.
• 제2종 오류: 귀무가설이 실제로 거짓인데도 귀무가설을 기각하지 못합니다. 이러한 유형의 오류가 발생할 확률은 β 로 표시됩니다.

알파와 베타의 관계

이상적으로, 연구자들은 제1종 오류를 범할 확률 과 제2종 오류를 범할 확률을 낮추기를 원합니다.

그러나 이 두 확률 사이에는 절충안이 있습니다. 알파 수준을 낮추면 귀무가설이 실제로 참일 때 이를 기각할 확률이 줄어들 수 있지만 이는 실제로 귀무가설이 틀렸을 때 귀무가설을 기각하지 못할 확률인 베타 수준을 증가시킵니다.

전력과 베타의 관계

가설 검정의 검정력 은 효과나 차이가 실제로 존재할 때 효과나 차이를 탐지할 확률을 나타냅니다. 즉, 잘못된 귀무가설을 정확하게 기각할 확률입니다.

다음과 같이 계산됩니다.

전력 = 1 – β

일반적으로 연구자들은 테스트의 검정력이 높아서 효과나 차이가 있는 경우 테스트를 통해 이를 감지할 수 있기를 원합니다.

위의 방정식에서 테스트의 검정력을 높이는 가장 좋은 방법은 베타 수준을 줄이는 것임을 알 수 있습니다. 그리고 베타 수준을 줄이는 가장 좋은 방법은 일반적으로 표본 크기를 늘리는 것입니다.

다음 예에서는 가설 검정의 베타 수준을 계산하는 방법과 표본 크기를 늘리면 베타 수준이 감소할 수 있는 이유를 보여줍니다.

예 1: 가설 검정을 위한 베타 계산

한 연구원이 공장에서 생산된 위젯의 평균 무게가 500온스 미만인지 테스트한다고 가정해 보겠습니다. 우리는 무게의 표준 편차가 24온스라는 것을 알고 있으며 연구원은 40개 위젯의 무작위 샘플을 수집하기로 결정했습니다.

α = 0.05에서 다음 가설을 실현합니다.

• H ₀ : µ = 500
• _HA : μ < 500

이제 생산된 위젯의 평균 무게가 실제로 490온스라고 상상해 보세요. 즉, 귀무가설을 기각해야 합니다.

다음 단계를 사용하여 베타 수준, 즉 실제로 기각되어야 하는 귀무 가설을 기각하지 않을 확률을 계산할 수 있습니다.

1단계: 거부 불가 영역을 찾습니다.

임계 Z 값 계산기에 따르면 α = 0.05에서 왼쪽 임계값은 -1.645 입니다.

2단계: 거부할 수 없는 최소 샘플을 찾습니다.

검정 통계량은 z = ( x – μ) / (s/ √n )으로 계산됩니다.

따라서 표본 평균에 대해 다음 방정식을 풀 수 있습니다.

• x = µ – z*(s/ √n )
• x = 500 – 1.645*(24/ √40 )
• 엑스 = 493.758

3단계: 최소 표본 평균이 실제로 발생할 확률을 결정합니다.

이 확률은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

• P(Z ≥ (493.758 – 490) / (24/√ 40 ))
• P(Z ≥ 0.99)

일반 CDF 계산기 에 따르면 Z ≥ 0.99일 확률은 0.1611 입니다.

따라서 이 검정의 베타 수준은 β = 0.1611입니다. 이는 실제 평균이 490온스인 경우 차이를 감지하지 못할 확률이 16.11%라는 것을 의미합니다.

예 2: 표본 크기가 더 큰 검정에 대한 베타 계산

이제 연구자가 정확히 동일한 가설 검정을 수행하지만 대신 n = 100개의 위젯 샘플을 사용한다고 가정합니다. 이 테스트의 베타 수준을 계산하기 위해 동일한 세 단계를 반복할 수 있습니다.

1단계: 거부 불가 영역을 찾습니다.

임계 Z 값 계산기에 따르면 α = 0.05에서 왼쪽 임계값은 -1.645 입니다.

2단계: 거부할 수 없는 최소 샘플을 찾습니다.

검정 통계량은 z = ( x – μ) / (s/ √n )으로 계산됩니다.

따라서 표본 평균에 대해 다음 방정식을 풀 수 있습니다.

• x = µ – z*(s/ √n )
• x = 500 – 1.645*(24/√ 100 )
• 엑스 = 496.05

3단계: 최소 표본 평균이 실제로 발생할 확률을 결정합니다.

이 확률은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

• P(Z ≥ (496.05 – 490) / (24/√ 100 ))
• P(Z ≥ 2.52)

일반 CDF 계산기 에 따르면 Z ≥ 2.52일 확률은 0.0059입니다.

따라서 이 검정의 베타 수준은 β = 0.0059입니다. 이는 실제 평균이 490온스인 경우 차이를 감지하지 못할 확률이 0.59%에 불과하다는 것을 의미합니다.

단순히 표본 크기를 40에서 100으로 늘림으로써 연구원은 베타 수준을 0.1611에서 0.0059로 줄일 수 있었습니다.

보너스: 이 유형 II 오류 계산기를 사용하면 테스트의 베타 수준을 자동으로 계산할 수 있습니다.

추가 리소스

가설 검정 소개
귀무 가설을 작성하는 방법(5개 예)
P값과 통계적 유의성에 대한 설명