사후 확률: 정의 + 예

사후 확률은 새로운 정보를 고려한 후에 사건이 발생할 업데이트된 확률입니다.

예를 들어, 방금 발생한 사건 “B”를 고려한 후 사건 “A”가 발생할 확률에 관심이 있을 수 있습니다. 다음 공식을 사용하여 이 사후 확률을 계산할 수 있습니다.

P(A|B) = P(A) * P(B|A) / P(B)

금:

P(A|B) = 사건 B가 발생했을 때 사건 A가 발생할 확률입니다. “| »는 ‘주어진’을 의미합니다.

P(A) = 사건 A가 발생할 확률입니다.

P(B) = 사건 B가 발생할 확률.

P(B|A) = 사건 A가 발생했을 때 사건 B가 발생할 확률입니다.

예: 사후 확률 계산

숲은 참나무 20%, 단풍나무 80%로 이루어져 있습니다. 참나무의 90%가 건강하고 단풍나무의 50%만이 건강하다는 것을 알고 있다고 가정해 보겠습니다. 멀리서 보면 특정 나무가 건강하다는 것을 알 수 있다고 가정해 보겠습니다. 그 나무가 참나무일 확률은 얼마인가?

사건 B가 발생했을 때 사건 A가 발생할 확률은 다음과 같습니다.

P(A|B) = P(A) * P(B|A) / P(B)

이 예에서 나무가 건강할 때 그 나무가 참나무일 확률은 다음과 같습니다.

P(오크|건강) = P(오크) * P(건강|오크) / P(건강)

P(Oak) = 숲에 있는 모든 나무의 20%가 참나무이기 때문에 주어진 나무가 참나무일 확률은 0.2 입니다.

P(건강) = 주어진 나무가 건강할 확률은 다음과 같이 계산할 수 있습니다: (0.20)*(0.9) + (0.8)*(0.5) = 0.58 .

P(Healthy|Oak) = 참나무인 경우 나무가 건강할 확률은 0.9 입니다. 왜냐하면 참나무의 90%가 건강하다고 들었기 때문입니다.

이 세 가지 숫자를 사용하여 나무가 건강하다는 점을 고려하여 그 나무가 참나무일 확률을 찾을 수 있습니다.

P(오크|건강) = P(오크) * P(건강|오크) / P(건강) = (0.2) * (0.9) / (0.58) = 0.3103 .

이 확률을 직관적으로 이해하기 위해 다음 그리드가 100그루의 나무 숲을 나타낸다고 가정해 보겠습니다. 그 중 정확히 20그루는 참나무이고 그 중 18그루는 건강한 나무입니다. 나머지 80그루는 단풍나무이고 그 중 40그루는 건강합니다.

(O = 오크나무, M = 단풍나무, 녹색 = 건강함, 빨간색 = 건강하지 않음)

모든 나무 중에서 정확히 58그루가 건강한 나무이고 그 건강한 나무 중 18그루가 참나무입니다. 따라서 건강한 나무를 선택했다는 것을 안다면 그것이 참나무일 확률은 18/58 = 0.3103 입니다.

사후 확률은 언제 사용해야 합니까?

사후 확률은 금융, 의학, 경제, 일기예보 등 다양한 분야에서 사용됩니다.

사후 확률을 사용하는 요점은 새로운 정보를 얻은 후 무언가에 대해 가지고 있던 이전 믿음을 업데이트하는 것입니다.

이전 예에서 우리는 숲에 있는 나무가 참나무일 확률이 20%라는 것을 알고 있었습니다. 이것을 사전 확률 이라고 합니다. 단순히 나무를 무작위로 선택하면 그 나무가 참나무일 확률은 0.20이라는 것을 알았습니다.

그러나 우리가 선택한 나무가 건강하다는 새로운 정보를 얻은 후에는 이 새로운 정보를 사용하여 이 나무가 참나무일 사후 확률이 0.3103이라는 것을 결정할 수 있었습니다.

현실 세계에서 사람들은 끊임없이 새로운 정보를 발견하고 있습니다. 이 새로운 정보는 우리가 이전 신념을 업데이트하는 데 도움이 됩니다. 통계적 측면에서 이는 발생하는 사건의 사후 확률을 생성할 수 있음을 의미하며, 이를 통해 우리는 세상에 대해 보다 정확한 이해를 얻고 미래 사건에 대해 보다 정확한 예측을 할 수 있습니다.