수학적 기대값(또는 기대값)

에 의해 벤자민 앤더슨 8월 5, 2023 개연성 댓글 0개

이 문서에서는 확률 변수의 수학적 기대값(또는 기대값)이 무엇인지, 그리고 이를 계산하는 방법에 대해 설명합니다. 당신은 수학적 희망의 해결된 연습을 발견할 것입니다. 또한 온라인 계산기를 사용하여 모든 데이터 세트의 예상 값을 찾을 수 있습니다.

수학적 기대값(또는 기대값)이란 무엇입니까?

통계에서 기대 값(expected value) 이라고도 불리는 기대값은 확률변수의 평균값을 나타내는 숫자입니다. 수학적 기대치는 무작위 사건의 값과 각각의 발생 확률로 구성된 모든 곱의 합과 같습니다.

기대의 기호는 대문자 E입니다. 예를 들어 통계변수 X의 기대는 E(X)로 표시됩니다.

마찬가지로, 데이터 세트의 수학적 기대값은 해당 평균(인구 평균)과 일치합니다.

수학적 기대값을 계산하는 방법

이산변수의 수학적 기대값을 계산하려면 다음 단계를 따라야 합니다.

가능한 각 사건에 발생 확률을 곱합니다.
이전 단계에서 얻은 모든 결과를 더합니다.
얻은 값은 변수의 수학적 기대값(또는 기대값)입니다.

따라서 이산변수의 수학적 기대값(또는 기대값)을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

👉 아래 계산기를 사용하여 모든 데이터 세트의 기대값을 계산할 수 있습니다.

위 공식은 확률 변수가 이산형인 경우(대부분의 경우)에만 사용할 수 있습니다. 그러나 변수가 연속형인 경우 수학적 기대값을 얻으려면 다음 공식을 사용해야 합니다.

$\displaystyle E(X)=\int_\mathbb{R} x\cdot f_x(x) dx$

금

$f_x$

연속 변수의 밀도 함수입니다.

수학적 기대의 예

기대값(또는 기대값)의 정의를 고려하면, 아래는 구체적인 예이므로 계산이 어떻게 이루어지는지 확인할 수 있습니다.

주사위를 굴릴 때 나타나는 숫자에 따라 돈을 얻거나 잃을 수 있는 게임에 사람이 참여합니다. 1이 나오면 $800를 얻고, 2나 3이 나오면 $500를 잃고, 4, 5, 6이 나오면 $100를 얻습니다. 참가 가격은 $50 입니다. 이 확률 게임에 참여하는 것을 추천하시겠습니까?

가장 먼저 해야 할 일은 각 사건의 확률을 결정하는 것입니다. 주사위에는 6개의 면이 있으므로 숫자가 나올 확률은 다음과 같습니다.

$p(\text{obtener un n\'umero})=\cfrac{1}{6}$

따라서 각 사건의 발생 확률은 다음과 같습니다.

$p(\text{ganar }\$800)=\cfrac{1}{6}$

$p(\text{perder }\$500)=2\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{2}{6}$

$p(\text{ganar }\$100)=3\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{3}{6}$

이제 각 사건이 발생할 확률을 알았으므로 기대값에 대한 수학 공식을 적용합니다.

$\displaystyle E(X)=\sum_{i=1}^nx_i\cdot p_i$

그리고 수학적 기대값(또는 기대값)을 계산합니다.

$E(X)=800\cdot\cfrac{1}{6}-500\cdot \cfrac{2}{6}+100\cdot\cfrac{3}{6}=\$16,67$

기대되는 가치는 이 게임에 참여하는 가격보다 낮으므로 장기적으로 돈을 잃게 되므로 플레이하지 않는 것이 좋습니다. 1이 될 때만 참여하면 큰 이익을 얻을 수도 있지만 장기적으로는 손실을 입을 확률이 높다.

수학적 기대의 결과는 때때로 불가능한 값이라는 점에 유의해야 합니다. 예를 들어 이 경우 $16.67을 얻을 수 없습니다.

기대 계산기

기대값을 계산하려면 다음 계산기에 일련의 통계 데이터를 입력하세요. 첫 번째 상자에는 각 사건의 값을 입력하고 두 번째 상자에는 동일한 순서로 발생 확률을 입력해야 합니다.

데이터는 공백으로 구분해야 하며 소수점 구분 기호로 마침표를 사용하여 입력해야 합니다.

수학적 기대의 속성

수학적 기대의 속성은 다음과 같습니다.

상수에 대한 수학적 기대는 그 자체입니다.

$E(k)=k$

스칼라를 곱한 확률 변수의 기대값은 이 스칼라를 곱한 이 변수의 기대값과 같습니다.

$E(k\cdot X)=k\cdot E(X)$

두 변수의 합에 대한 수학적 기대는 각 변수의 수학적 기대의 합과 동일합니다.

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

일반적으로 두 변수를 곱하면 다른 수학적 기대값이 생성됩니다. 변수가 독립인 경우에만 결과가 동일합니다.

$E(X\cdot Y)\neq E(X)\cdot E(Y)$

변수의 모든 값이 0보다 크거나 같으면 해당 변수의 수학적 기대값도 양수이거나 0과 같습니다.

$X\geq 0 \ \longrightarrow \ E(X)\geq 0$

한 변수의 모든 값이 다른 변수의 모든 값보다 작으면 두 변수의 기대치는 동일한 관계를 갖습니다.

$X\leq Y \ \longrightarrow \ E(X)\leq E(Y)$

변수가 두 값으로 제한된다는 것을 알면 해당 변수의 수학적 기대도 논리적으로 제한됩니다.

$a <ul> <li> Si une variable est la combinaison linéaire d’une autre variable, ses attentes mathématiques satisfont à la même relation algébrique : </li> </ul> <p>[latex]Y=a+bX \ \longrightarrow \ E(Y)=a+b\cdot E(X)” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”41″ width=”1116″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> <h2 class=$ 수학적 기대값은 무엇에 사용되나요?

이 마지막 섹션에서 우리는 수학적 희망의 의미를 더 깊이 탐구할 것입니다. 구체적으로, 우리는 이 통계적 측정이 어떤 용도로 사용되는지 살펴보고 개념을 더 잘 이해할 것입니다.

수학적 기대(또는 기대값)는 확률적 공간에서 장기적으로 얻거나 잃을 것으로 예상되는 금액의 값을 갖는 데 사용됩니다. 즉, 수학적 기대치는 장기적으로 얻을 수 있는 수익을 나타냅니다.

사람이 회사 주식 매입과 같은 투자를 고려할 때 고려해야 할 매개변수 중 하나는 수학적 기대치입니다. 왜냐하면 이 투자를 여러 번 하면 얻을 수 있는 경제적 수익은 수학적 기대값이 되기 때문입니다. 이는 얻은 이익의 평균으로 간주될 수 있습니다.

마찬가지로, 수학적 기대는 계량경제학, 양자물리학, 거래, 심지어 생물학과 같은 다른 분야에서도 사용됩니다.

저자 소개

벤자민 앤더슨

안녕하세요. 저는 통계학 교수를 퇴직하고 전임 통계 교사로 변신한 벤자민입니다. 통계 분야의 광범위한 경험과 전문 지식을 바탕으로 Statorials를 통해 학생들에게 힘을 실어주기 위해 지식을 공유하고 싶습니다. 더 알아보기