정규 이항 근사: 정의 및 예

만약 _ _ _ _ _

• µ = np
• σ = √ np(1-p)

n이 충분히 크면 정규 분포를 사용하여 이항 분포와 관련된 확률을 근사화할 수 있습니다. 이것을 정규 이항 근사 라고 합니다.

n이 “충분히 커지려면” 다음 기준을 충족해야 합니다.

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

두 기준이 모두 충족되면 정규 분포를 사용하여 이항 분포와 관련된 확률 질문에 답할 수 있습니다.

그러나 정규분포는 연속확률분포인 반면, 이항분포는 이산확률분포이기 때문에 확률을 계산할 때 연속성 보정을 적용해야 합니다.

간단히 말해서 연속성 수정은 이산 x 값에서 0.5를 더하거나 빼는 데 부여되는 이름입니다.

예를 들어, 동전을 100번 던지는 동안 앞면이 45번 이하로 나올 확률을 찾고 싶다고 가정해 보겠습니다. 즉, 우리는 P(X ≤ 45)를 찾고 싶습니다. 이항 분포를 근사화하기 위해 정규 분포를 사용하려면 대신 P(X ≤ 45.5)를 찾아야 합니다.

다음 표는 찾으려는 확률 유형에 따라 0.5를 더하거나 빼야 하는 경우를 보여줍니다.

다음 단계별 예에서는 정규 분포를 사용하여 이항 분포를 근사화하는 방법을 보여줍니다.

예: 이항식의 정규 근사

동전을 100번 던져서 앞면이 43번 이하로 나올 확률을 알고 싶다고 가정해 보겠습니다.

이 상황에서는 다음과 같은 값이 있습니다.

• n (시행 횟수) = 100
• X (성공 횟수) = 43
• p (주어진 시행의 성공 확률) = 0.50

동전이 앞면이 43회 이하로 나올 확률을 계산하려면 다음 단계를 사용할 수 있습니다.

1단계: 표본 크기가 정규 근사를 사용할 수 있을 만큼 충분히 큰지 확인합니다.

우선, 다음 기준이 충족되는지 확인해야 합니다.

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

이 경우에는 다음이 있습니다.

• np = 100*0.5 = 50
• n(1-p) = 100*(1 – 0.5) = 100*0.5 = 50

두 숫자 모두 5보다 크므로 정규 근사를 안전하게 사용할 수 있습니다.

2단계: 적용할 연속성 보정을 결정합니다.

위의 표를 참조하면 X ≤ 43 형태의 확률로 작업할 때 0.5를 더해야 함을 알 수 있습니다. 따라서 P(X< 43.5)를 찾을 수 있습니다.

3단계: 이항분포의 평균(μ)과 표준편차(σ)를 구합니다.

µ = n*p = 100*0.5 = 50

σ = √ n*p*(1-p) = √ 100*.5*(1-.5) = √ 25 = 5

4단계: 이전 단계에서 구한 평균과 표준편차를 사용하여 z-점수를 찾습니다.

z = (x – μ) / σ = (43.5 – 50) / 5 = -6.5 / 5 = -1.3.

5단계: z-점수와 관련된 확률을 찾습니다.

정규 CDF 계산기를 사용하여 -1.3 왼쪽의 표준 정규 곡선 아래 면적이 0.0968 임을 알 수 있습니다.

따라서 동전을 100번 던졌을 때 앞면이 43번 이하로 나올 확률은 0.0968 입니다.

이 예에서는 다음을 보여줍니다.

• 무작위 변수가 이항 분포를 따르는 상황이 있었습니다.
• 우리는 이 확률 변수에 대해 특정 값을 얻을 확률을 찾고 싶었습니다.
• 표본 크기(n = 100회 시행)가 충분히 크기 때문에 정규 분포를 사용하여 이항 분포를 근사화할 수 있었습니다.

이것은 이항 분포와 관련된 확률을 찾기 위해 정규 근사를 사용하는 방법에 대한 완전한 예입니다.