Anova에서 제곱합을 계산하는 방법(예제 포함)
통계에서는 일원 분산 분석(one-way ANOVA)을 사용하여 3개 이상의 독립 그룹의 평균을 비교하여 해당 모집단의 평균 간에 통계적으로 유의한 차이가 있는지 확인합니다.
일원 분산 분석을 수행할 때마다 항상 세 가지 제곱합 값을 계산합니다.
1. 제곱합 회귀(SSR)
- 각 그룹의 평균과 전체 평균 의 차이를 제곱한 값의 합입니다.
2. 제곱합 오류(SSE)
- 이는 각 개별 관측치와 해당 관측치의 그룹 평균 간의 차이를 제곱한 값의 합입니다.
3. 총 제곱합(SST)
- 이는 각 개별 관측치와 전체 평균 간의 차이를 제곱한 값의 합입니다.
이 세 가지 값 각각은 최종 ANOVA 테이블에 배치되며, 이를 사용하여 그룹 평균 간에 통계적으로 유의미한 차이가 있는지 여부를 결정합니다.
다음 예에서는 실제로 일원 분산 분석에 대한 이러한 각 제곱합 값을 계산하는 방법을 보여줍니다.
예: ANOVA에서 제곱합을 계산하는 방법
세 가지 서로 다른 시험 준비 프로그램이 특정 시험에서 서로 다른 평균 점수를 가져오는지 여부를 알고 싶다고 가정해 보겠습니다. 이를 테스트하기 위해 우리는 연구에 참여할 학생 30명을 모집하고 그들을 세 그룹으로 나눕니다.
각 그룹의 학생들은 시험 준비를 위해 다음 3주 동안 세 가지 시험 준비 프로그램 중 하나를 사용하도록 무작위로 배정됩니다. 3주 후에는 모든 학생들이 동일한 시험을 치릅니다.
각 그룹의 시험 결과는 다음과 같습니다.
다음 단계에서는 이 일원 분산 분석에 대한 제곱 값의 합을 계산하는 방법을 보여줍니다.
1단계: 그룹 평균과 전체 평균을 계산합니다.
먼저 세 그룹의 평균과 전체(또는 “전체”) 평균을 계산합니다.
2단계: SSR을 계산합니다.
다음으로, 다음 공식을 사용하여 SSR(제곱합 회귀)을 계산합니다.
nΣ(X j – X ..) 2
금:
- n : 그룹 j의 표본 크기
- Σ : “합계”를 의미하는 그리스 기호
- X j : 그룹 j의 평균
- X .. : 전체 평균
이 예에서는 SSR = 10(83.4-85.8) 2 + 10(89.3-85.8) 2 + 10(84.7-85.8) 2 = 192.2 로 계산됩니다.
3단계: SES를 계산합니다.
다음으로, 다음 공식을 사용하여 SSE(제곱합 오류)를 계산합니다.
Σ( Xij – Xj ) 2
금:
- Σ : “합계”를 의미하는 그리스 기호
- X ij : 그룹 j의 i번째 관측치
- X j : 그룹 j의 평균
이 예에서는 SSE를 다음과 같이 계산합니다.
그룹 1: (85-83.4) 2 + (86-83.4) 2 + (88-83.4) 2 + (75-83.4) 2 + (78-83.4) 2 + (94-83.4) 2 + (98-83.4) 2 + (79-83.4) 2 + (71-83.4) 2 + (80-83.4) 2 = 640.4
그룹 2: (91-89.3) 2 + (92-89.3) 2 + (93-89.3) 2 + (85-89.3) 2 + (87-89.3) 2 + (84-89.3) 2 + (82-89.3) 2 + (88-89.3) 2 + (95-89.3) 2 + (96-89.3) 2 = 208.1
그룹 3: (79-84.7) 2 + (78-84.7) 2 + (88-84.7) 2 + (94-84.7) 2 + (92-84.7) 2 + (85-84.7) 2 + (83-84.7) 2 + (85-84.7) 2 + (82-84.7) 2 + (81-84.7) 2 = 252.1
ESS: 640.4 + 208.1 + 252.1 = 1,100.6
4단계: SST를 계산합니다.
다음으로, 다음 공식을 사용하여 총 제곱합(SST)을 계산합니다.
SST = SSR + SSE
이 예에서는 SST = 192.2 + 1100.6 = 1292.8
SSR, SSE 및 SST 값을 계산하면 이러한 각 값이 최종적으로 ANOVA 테이블에 배치됩니다.
원천 | 제곱합(SS) | df | 평균 제곱(MS) | F값 | p-값 |
---|---|---|---|---|---|
회귀 | 192.2 | 2 | 96.1 | 2,358 | 0.1138 |
오류 | 1100.6 | 27 | 40.8 | ||
총 | 1292.8 | 29 |
다음은 표의 다양한 숫자를 계산하는 방법입니다.
- 회귀 df: k-1 = 3-1 = 2
- 오류 df: nk = 30-3 = 27
- 총 df: n-1 = 30-1 = 29
- SEP 처리: SST 처리/df = 192.2 / 2 = 96.1
- MS 오류: SSE 오류 / df = 1100.6 / 27 = 40.8
- F 값: MS 처리 / MS 오류 = 96.1 / 40.8 = 2.358
- p-값 : F 값에 해당하는 p-값입니다.
참고: n = 총 관측치 수, k = 그룹 수
ANOVA 테이블에서 F 값과 p 값을 해석하는 방법을 알아보려면 이 튜토리얼을 확인하세요.