평균과 표준편차가 주어졌을 때 확률을 구하는 방법

정규 분포 확률 변수가 다음과 같은 확률을 찾기 위해 다음 프로세스를 사용할 수 있습니다.

1단계: z-점수를 찾습니다.

z-점수는 개별 데이터 값이 평균에서 얼마나 많은 표준 편차를 벗어나는지 알려줍니다. 다음과 같이 계산됩니다.

z-점수 = (x – μ) / σ

금:

• x: 개별 데이터 값
• μ: 인구 평균
• σ: 모집단 표준편차

2단계: z-점수에 해당하는 확률을 찾습니다.

z 점수를 계산한 후에는 z 테이블에서 해당 확률을 찾을 수 있습니다.

다음 예에서는 다양한 시나리오에서 이 프로세스를 사용하는 방법을 보여줍니다.

예시 1: 특정 값보다 작은 확률

특정 시험의 점수는 평균 μ = 82, 표준편차 σ = 8인 정규 분포를 따릅니다. 해당 학생이 시험에서 84점 미만의 점수를 받을 확률은 얼마입니까?

1단계: z-점수를 찾습니다.

먼저 점수 84와 관련된 z-점수를 찾습니다.

z-점수 = (x – μ) / σ = (84 – 82) / 8 = 2/8 = 0.25

2단계: z 테이블을 사용하여 해당 확률을 찾습니다.

다음으로 z 테이블에서 값 0.25를 찾습니다.

특정 학생의 점수가 84점 미만일 확률은 약 59.87% 입니다.

예시 2: 특정 값보다 큰 확률

특정 펭귄 종의 키는 평균 μ = 30인치, 표준 편차 σ = 4인치로 정규 분포를 따릅니다. 펭귄을 무작위로 선택하면 키가 28인치를 넘을 확률은 얼마나 됩니까?

1단계: z-점수를 찾습니다.

먼저, 28인치 높이와 관련된 z-점수를 찾습니다.

점수 z = (x – μ) / σ = (28 – 30) / 4 = -2 / 4 = -0.5

2단계: z 테이블을 사용하여 해당 확률을 찾습니다.

다음으로 -0.5 값을 찾습니다.   테이블 z에서:

z-점수 -0.5에 해당하는 값은 0.3085입니다. 이는 펭귄의 키가 28인치보다 작을 확률을 나타냅니다.

그러나 펭귄의 키가 28인치보다 클 확률을 알고 싶기 때문에 1에서 해당 확률을 빼야 합니다.

따라서 펭귄의 키가 28인치보다 클 확률은 1 – 0.3085 = 0.6915 입니다.

예시 3: 두 값 사이의 확률

특정 거북이 종의 무게는 평균이 μ = 400파운드이고 표준 편차가 σ = 25파운드인 정규 분포를 따릅니다. 거북이를 무작위로 선택하면 무게가 410파운드에서 425파운드 사이일 확률은 얼마입니까?

1단계: z-점수를 찾습니다.

먼저 410권의 책과 425권의 책에 대한 z-점수를 찾습니다.

410의 z-점수 = (x – μ) / σ = (410 – 400) / 25 = 10/25 = 0.4

425의 z 점수 = (x – μ) / σ = (425 – 400) / 25 = 25 / 25 = 1

2단계: z 테이블을 사용하여 해당 확률을 찾습니다.

먼저 0.4 값을 찾습니다.   테이블 z에서:

다음으로 값 1 을 찾습니다.   테이블 z에서:

다음으로, 큰 값에서 작은 값을 뺍니다: 0.8413 – 0.6554 = 0.1859 .

따라서 무작위로 선택한 거북이의 무게가 410파운드에서 425파운드 사이일 확률은 18.59% 입니다.

추가 리소스

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