Bernoulli ဖြန့်ဖြူးခြင်း။

အားဖြင့် Benjamin Anderson ဩဂုတ် 4, 2023 ဖြစ်နိုင်ခြေ 0 မှတ်ချက်များ

ဤဆောင်းပါးတွင် Bernoulli ဖြန့်ဖြူးမှုသည် အဘယ်အရာနှင့် ၎င်း၏ဖော်မြူလာဖြစ်သည်ကို ရှင်းပြထားသည်။ ထို့အပြင်၊ Bernoulli ဖြန့်ဖြူးခြင်း၏ဂုဏ်သတ္တိများနှင့်၎င်း၏အဓိပ္ပါယ်ကိုပိုမိုနားလည်ရန်ဖြေရှင်းထားသောလေ့ကျင့်ခန်းကိုသင်တွေ့လိမ့်မည်။

Bernoulli ဖြန့်ဖြူးမှုကား အဘယ်နည်း။

Bernoulli ဖြန့်ဝေမှုသည် dichotomous ဖြန့်ဝေမှု ဟုလည်းသိကြပြီး၊ သည် ရလဒ်နှစ်ခုသာရှိနိုင်သော သီးခြားကိန်းရှင်ကိုကိုယ်စားပြုသည့် ဖြစ်နိုင်ခြေဖြန့်ဝေမှုတစ်ခုဖြစ်သည်- “ အောင်မြင်မှု” သို့မဟုတ် “ ကျရှုံးခြင်း” ။

Bernoulli ဖြန့်ဖြူးမှုတွင် “ အောင်မြင်မှု” သည် ကျွန်ုပ်တို့မျှော်လင့်ထားသောရလဒ်ဖြစ်ပြီး တန်ဖိုး 1 ရှိပြီး “ ကျရှုံးခြင်း” သည် မျှော်လင့်ထားသည့်ရလဒ်ထက်အခြားရလဒ်ဖြစ်ပြီး 0 တန်ဖိုးရှိသည်။ ထို့ကြောင့် “ ရလဒ်၏ဖြစ်နိုင်ခြေရှိပါက၊ အောင်မြင်မှု” သည် p ဖြစ်ပြီး “ ကျရှုံးခြင်း” ၏ရလဒ်ဖြစ်နိုင်ခြေမှာ q = 1-p ဖြစ်သည်။

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

Bernoulli ဖြန့်ဖြူးမှုကို ဆွစ်ဇာလန်စာရင်းအင်းပညာရှင် Jacob Bernoulli ၏အစွဲဖြင့် အမည်ပေးထားသည်။

စာရင်းဇယားများတွင်၊ Bernoulli ဖြန့်ဖြူးမှုတွင် အဓိကအားဖြင့် အသုံးချပလီကေးရှင်းတစ်ခုရှိသည်- ဖြစ်နိုင်ခြေရလဒ် နှစ်ခုသာရှိသည်- အောင်မြင်မှုနှင့် ကျရှုံးမှု ဖြစ်နိုင်ချေများကို စမ်းသပ်မှုများ၏ ဖြစ်နိုင်ခြေများကို သတ်မှတ်ခြင်း။ ထို့ကြောင့် Bernoulli ဖြန့်ဖြူးမှုကို အသုံးပြုသည့် စမ်းသပ်ချက်ကို Bernoulli စမ်းသပ်မှု သို့မဟုတ် Bernoulli စမ်းသပ်မှုဟု ခေါ်သည်။

Bernoulli ဖြန့်ဖြူးရေးဖော်မြူလာ

p သည် “ အောင်မြင်မှု” ဖြစ်ပေါ်လာခြင်း၏ ရလဒ်၏ဖြစ်နိုင်ခြေဖြစ်ပါက၊ Bernoulli ဖြန့်ဖြူးမှု၏ဖြစ်နိုင်ခြေသည် p မှ x မြှောက်ကာ 1-p နှင့် မြှောက်ကာ 1-x နှင့် ညီမျှသည်။ ထို့ကြောင့် Bernoulli ဖြန့်ဖြူးမှု၏ ဖြစ်နိုင်ခြေများကို အောက်ပါဖော်မြူလာဖြင့် တွက်ချက်နိုင်ပါသည် ။

Bernoulli ဖြန့်ဖြူးမှုတွင် x တန်ဖိုးသည် 0 (ပျက်ကွက်) သို့မဟုတ် 1 (အောင်မြင်မှု) သာဖြစ်နိုင်ကြောင်း သတိပြုပါ။

အခြားတစ်ဖက်တွင်၊ ယခင်ဖော်မြူလာကို အောက်ပါ တူညီသောအသုံးအနှုန်းဖြင့် ရေးသားနိုင်သည်။

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.$

Bernoulli ဖြန့်ဖြူးခြင်း၏ဥပမာ

ယခု Bernoulli ဖြန့်ဖြူးခြင်း၏ အဓိပ္ပါယ်ဖွင့်ဆိုချက်နှင့် ၎င်း၏ဖော်မြူလာသည် မည်ကဲ့သို့ဖြစ်သည်ကို ကျွန်ုပ်တို့ သိရှိပြီးသောအခါ Bernoulli ဖြန့်ဖြူးခြင်း၏ ခိုင်မာသော ဥပမာကို ကြည့်ကြပါစို့။

ဂိမ်းတစ်ခုအနိုင်ရရန်၊ ကစားသမားတစ်ဦးသည် အသေကိုလှိမ့်ပြီး 2 ကိုရယူရမည်၊ မဟုတ်ပါက အခြားကစားသမားသည် ဂိမ်းကိုအနိုင်ရမည်ဖြစ်ပြီး ထို့ကြောင့် ဂိမ်းသည် ဆုံးရှုံးမည်ဖြစ်သည်။ အောင်မြင်မှုနှင့် ကျရှုံးမှု ဖြစ်နိုင်ခြေကို တွက်ချက်ပါ။

အသေတစ်ခုတွင် ဖြစ်နိုင်ချေရှိသော ရလဒ်ခြောက်ခုရှိသည် (၁၊ ၂၊ ၃၊ ၄၊ ၅၊ ၆)၊ ထို့ကြောင့် ဤအခြေအနေတွင် စမ်းသပ်မှု၏နမူနာနေရာသည်-

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

ကျွန်ုပ်တို့၏အခြေအနေတွင်၊ အောင်မြင်မှု၏တစ်ခုတည်းသောကိစ္စမှာ နံပါတ်နှစ်ဖြစ်သည်၊ ထို့ကြောင့် Laplace ၏စည်းမျဉ်းကိုကျင့်သုံးသည့်အခါ အောင်မြင်နိုင်ခြေသည် ဖြစ်နိုင်ချေရလဒ်စုစုပေါင်း (၆) ခုဖြင့် ပိုင်းခြားထားသောတစ်ခုနှင့် ညီမျှသည်။

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

တစ်ဖက်တွင်၊ သေလွန်သောအခါတွင် အခြားနံပါတ်တစ်ခုပေါ်လာပါက၊ ကစားသူသည် ဂိမ်းကိုဆုံးရှုံးရသောကြောင့် စမ်းသပ်မှု၏ရလဒ်သည် ကျရှုံးမှုဟု သတ်မှတ်မည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့်၊ ဤဖြစ်နိုင်ခြေသည် ယခင်က တွက်ချက်ထားသော ဖြစ်နိုင်ခြေ အနုတ်တစ်ခုနှင့် ညီမျှသည်-

$q=1-p=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}=0,8333$

အတိုချုပ်အားဖြင့်၊ ဤစမ်းသပ်မှု၏ Bernoulli ဖြန့်ဖြူးမှုကို အောက်ပါအသုံးအနှုန်းဖြင့် သတ်မှတ်သည်။

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}\cfrac{5}{6} & \text{si } x=0\\[4ex]\cfrac{1}{6} & \text{si } x=1\end{array}\right.$

အောက်တွင် သင်တွေ့မြင်ရသည့်အတိုင်း Bernoulli ဖြန့်ဖြူးခြင်း၏ ဖြစ်နိုင်ခြေများကို အထက်ဖော်ပြပါ ဖော်မြူလာကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် တွေ့ရှိနိုင်သည်-

$P[X=x]=p^x\cdot (1-p)^{1-x}$

$\displaystyle P[X=0]=\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-0}=\cfrac{5}{6}$

$\displaystyle P[X=1]=\left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-1}=\cfrac{1}{6}$

Bernoulli ဖြန့်ဖြူးခြင်း၏လက္ခဏာများ

အောက်ဖော်ပြပါများသည် Bernoulli ဖြန့်ဖြူးမှု၏ အရေးကြီးဆုံးလက္ခဏာများဖြစ်သည်။

Bernoulli ဖြန့်ဖြူးမှုသည် တန်ဖိုး 1 (အောင်မြင်မှု) သို့မဟုတ် 0 (ကျရှုံးမှု) ကိုသာ ယူနိုင်သည်။

$x=\{0\ ; 1\}$

Bernoulli ဖြန့်ဖြူးမှု၏ပျမ်းမျှသည် “ အောင်မြင်မှု” ရလဒ်၏ဖြစ်နိုင်ခြေနှင့်ညီမျှသည်။

$E[X]=p$

Bernoulli ဖြန့်ဝေမှု၏ ကွဲလွဲမှုကို ရလဒ် “ အောင်မြင်မှု” နှင့် “ ကျရှုံးခြင်း” တို့၏ ဖြစ်ပေါ်လာနိုင်ခြေများကို မြှောက်ခြင်းဖြင့် တွက်ချက်နိုင်သည်။ သို့မဟုတ် ညီမျှသည်၊ ကွဲလွဲမှုသည် p အမြှောက် 1-p ဖြစ်သည်။

$Var(X)=p\cdot q=p\cdot (1-p)$

Bernoulli ဖြန့်ဖြူးမှုပုံစံ၏တန်ဖိုးသည် “ အောင်မြင်မှု” နှင့် “ ကျရှုံးခြင်း” တို့၏ဖြစ်နိုင်ခြေများပေါ်တွင်မူတည်သည်။ ထို့ကြောင့် ဤဖြန့်ဖြူးမှုအမျိုးအစား၏မုဒ်ကို အောက်ပါအသုံးအနှုန်းဖြင့် သတ်မှတ်သည်-

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<ul><li> The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:</li></ul>[latex] \displaystyle P[X=x]= \left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \displaystyle
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...> The formula for the probability function
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.

အခြားတစ်ဖက်တွင်၊ Bernoulli ဖြန့်ဖြူးမှု၏ စုစည်းဖြစ်နိုင်ခြေကို အောက်ပါအသုံးအနှုန်းဖြင့် သတ်မှတ်သည်-

$\displaystyle P[X\leq x]=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } x<0\\[2ex]1-p& \text{si }0 \leq x<1\\[2ex]1 & \text{si } x\geq 1\end{array}\right.$

Bernoulli ဖြန့်ဖြူးမှု၏ အချိုးမညီသောကိန်းကို အောက်ပါအသုံးအနှုန်းဖြင့် တွက်ချက်သည်-

$A=\cfrac{q-p}{\sqrt{p\cdot q}}$

အလားတူ၊ Bernoulli ဖြန့်ဖြူးမှု၏ kurtosis သည် ကန့်သတ်ဘောင် p ၏တန်ဖိုးပေါ်တွင်မူတည်ပြီး အောက်ပါဖော်မြူလာကိုအသုံးပြုခြင်းဖြင့် တွေ့ရှိနိုင်သည်-

$C=\cfrac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}$

Bernoulli ဖြန့်ဖြူးခြင်းနှင့် binomial ဖြန့်ဖြူးခြင်း။

ဤအပိုင်းတွင်၊ ၎င်းတို့သည် ဆက်စပ်ဖြစ်နိုင်ခြေ ဖြန့်ဝေမှု အမျိုးအစား နှစ်ခုဖြစ်သောကြောင့် Bernoulli ဖြန့်ဖြူးမှုနှင့် binomial ဖြန့်ဖြူးမှုအကြား ခြားနားချက်ကို ကျွန်ုပ်တို့ မြင်တွေ့ရမည်ဖြစ်သည်။

binomial ဖြန့်ဖြူးမှုသည် Bernoulli စမ်းသပ်မှုအစုတစ်ခုမှရရှိသော “ အောင်မြင်သော” ရလဒ်များကို ရေတွက်သည်။ ဤ Bernoulli စမ်းသပ်မှုများသည် အမှီအခိုကင်းရမည်ဖြစ်သော်လည်း အောင်မြင်နိုင်ခြေ တူညီရပါမည်။

ထို့ကြောင့်၊ binomial distribution သည် Bernoulli ဖြန့်ဝေမှုနောက်တွင်ရှိသော variable အစုအဝေးတစ်ခုဖြစ်ပြီး တူညီသောဘောင် p ဖြင့်သတ်မှတ်ထားသောအားလုံးဖြစ်သည်။

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\displaystyle \sum_{i=1}^nX_i\sim \text{Bin}(n,p)\end{array}$

ထို့ကြောင့် Bernoulli ဖြန့်ဖြူးမှုတွင် Bernoulli စမ်းသပ်မှုတစ်ခုသာရှိသော်လည်း binomial ဖြန့်ဖြူးမှုတွင် Bernoulli စမ်းသပ်မှုများ၏အစီအစဥ်ရှိသည်။

စာရေးသူအကြောင်း

Benjamin Anderson

မင်္ဂလာပါ၊ ကျွန်ုပ်သည် အငြိမ်းစား စာရင်းအင်း ပါမောက္ခ ဘင်ဂျမင်ဖြစ်ပြီး သီးသန့် Statorials ဆရာအဖြစ် လှည့်ပတ်ပါသည်။ စာရင်းဇယားနယ်ပယ်တွင် ကျယ်ပြန့်သောအတွေ့အကြုံနှင့် ကျွမ်းကျင်မှုနှင့်အတူ၊ Statorials မှတစ်ဆင့် ကျောင်းသားများကို ခွန်အားဖြစ်စေရန်အတွက် ကျွန်ုပ်၏အသိပညာကို မျှဝေလိုပါသည်။ ပိုသိတယ်။