Vermenigvuldigingsregel

In dit artikel wordt uitgelegd wat de vermenigvuldigingsregel, ook wel de productregel genoemd, in de kansrekening is. Zo vind je wat de formule van de vermenigvuldigingsregel is, voorbeelden van hoe je een kans berekent met behulp van de vermenigvuldigingsregel en daarnaast enkele opgeloste oefeningen om te oefenen.

De vermenigvuldigingsregel hangt af van het feit of de gebeurtenissen onafhankelijk of afhankelijk zijn, dus we zullen eerst zien hoe de regel eruit ziet voor onafhankelijke gebeurtenissen en later voor afhankelijke gebeurtenissen.

Vermenigvuldigingsregel voor onafhankelijke gebeurtenissen

Bedenk dat onafhankelijke gebeurtenissen de resultaten zijn van een statistisch experiment waarvan de waarschijnlijkheid van voorkomen niet van elkaar afhankelijk is. Met andere woorden: twee gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk als de waarschijnlijkheid dat gebeurtenis A plaatsvindt niet afhankelijk is van het optreden van gebeurtenis B, en omgekeerd.

Vermenigvuldigingsregelformule voor onafhankelijke gebeurtenissen

Daarom is de formule voor de vermenigvuldigingsregel voor onafhankelijke gebeurtenissen:

Goud:

• 

  En

  

  Dit zijn twee onafhankelijke gebeurtenissen.

• 

  is de gezamenlijke waarschijnlijkheid dat gebeurtenis A en gebeurtenis B plaatsvinden.

• 

  is de waarschijnlijkheid dat gebeurtenis A zal plaatsvinden.

• 

  is de waarschijnlijkheid dat gebeurtenis B zal plaatsvinden.

Voorbeeld van een vermenigvuldigingsregel voor onafhankelijke gebeurtenissen

• Er wordt drie keer achter elkaar een muntje gegooid. Bereken de kans dat je kop krijgt bij alle drie de worpen.

In dit geval zijn de gebeurtenissen waarvoor we de gezamenlijke waarschijnlijkheid willen berekenen onafhankelijk, aangezien het resultaat van een trekking niet afhankelijk is van het resultaat verkregen bij de vorige trekking. Om de gezamenlijke waarschijnlijkheid te bepalen van het krijgen van drie opeenvolgende kop, moeten we daarom de formule van de vermenigvuldigingsregel gebruiken voor onafhankelijke gebeurtenissen:

Als we een munt opgooien, zijn er maar twee mogelijke uitkomsten: we kunnen kop of munt krijgen. Daarom is de kans op kop of munt bij het opgooien van een munt:

Om dus de kans te vinden dat we kop krijgen bij alle drie de muntopgooien, moeten we de kans op kop met drie vermenigvuldigen:

Kortom, de kans dat je drie keer op rij kop krijgt is 12,5%.

Hieronder vindt u alle mogelijke gebeurtenissen weergegeven met hun waarschijnlijkheden in een boomdiagram, op deze manier kunt u beter het proces zien dat we hebben gevolgd om de gezamenlijke waarschijnlijkheid te verkrijgen:

Vermenigvuldigingsregel voor afhankelijke gebeurtenissen

Nu we hebben gezien wat de vermenigvuldigingsregel is voor onafhankelijke gebeurtenissen, gaan we kijken hoe deze wet eruit ziet voor afhankelijke gebeurtenissen, aangezien de formule enigszins varieert.

Bedenk dat afhankelijke gebeurtenissen de resultaten zijn van een willekeurig experiment waarvan de waarschijnlijkheid van optreden van elkaar afhangt. Dat wil zeggen dat twee gebeurtenissen afhankelijk zijn als de waarschijnlijkheid dat de ene gebeurtenis plaatsvindt, de waarschijnlijkheid beïnvloedt dat de andere gebeurtenis plaatsvindt.

Vermenigvuldigingsregelformule voor afhankelijke gebeurtenissen

De formule voor de vermenigvuldigingsregel voor afhankelijke gebeurtenissen is dus:

Goud:

• 

  En

  

  Dit zijn twee afhankelijke gebeurtenissen.

• 

  is de waarschijnlijkheid dat gebeurtenis A en gebeurtenis B zullen plaatsvinden.

• 

  is de waarschijnlijkheid dat gebeurtenis A zal plaatsvinden.

• 

  is de voorwaardelijke waarschijnlijkheid dat gebeurtenis B plaatsvindt, gegeven gebeurtenis A.

Voorbeeld van een vermenigvuldigingsregel voor afhankelijke gebeurtenissen

• In een lege doos stoppen we 8 blauwe ballen, 4 oranje ballen en 2 groene ballen. Als we eerst één bal trekken en dan nog een bal, zonder de eerste teruggetrokken bal terug in de doos te leggen, wat is dan de kans dat de eerste bal blauw is en de tweede bal oranje?

In dit geval zijn de gebeurtenissen afhankelijk, omdat de kans op het oppakken van een oranje bal bij de tweede trekking afhangt van de kleur van de getrokken bal bij de eerste trekking. Om de gezamenlijke waarschijnlijkheid te berekenen, moeten we daarom de formule van de vermenigvuldigingsregel gebruiken voor afhankelijke gebeurtenissen:

De kans op het verkrijgen van een blauwe bal bij de eerste trekking is eenvoudig te bepalen, deel simpelweg het aantal blauwe ballen door het totale aantal ballen:

Aan de andere kant wordt de kans op het trekken van een oranje bal na het nemen van een blauwe bal anders berekend omdat het aantal oranje ballen anders is en bovendien er nu één bal minder in de doos ligt:

De gezamenlijke kans om eerst een blauwe bal en vervolgens een oranje bal te trekken, wordt dus berekend door de twee hierboven gevonden kansen te vermenigvuldigen:

Opgeloste oefeningen van de vermenigvuldigingsregel

Oefening 1

In een stad zijn er maar 3 kinderdagverblijven: 60% van de kinderen gaat naar kinderdagverblijf A, 30% naar kinderdagverblijf B en 10% naar kinderdagverblijf C. Bovendien is in de drie kinderdagverblijven 55% van de mensen meisje. Bereken de volgende kansen:

• Waarschijnlijkheid dat wanneer een kind willekeurig wordt geselecteerd uit kinderdagverblijf B, het een meisje zal zijn.
• De waarschijnlijkheid dat wanneer een kind willekeurig wordt geselecteerd uit een kinderdagverblijf, het een jongen zal zijn.

Als het aandeel meisjes in alle kinderdagverblijven 55% bedraagt, wordt het percentage jongens berekend door simpelweg 1 min 0,55 af te trekken:

Nu we alle kansen kennen, kunnen we de boom maken met de kansen van alle mogelijkheden:

In dit geval zijn de gebeurtenissen onafhankelijk, aangezien de kans dat het om een jongen of een meisje gaat niet afhangt van de gekozen opvang. Om dus de kans te vinden dat je willekeurig een meisje uit kinderdagverblijf B selecteert, moet je de kans dat je kinderdagverblijf B selecteert, vermenigvuldigen met de kans dat je een meisje selecteert:

Aan de andere kant moeten we, om de waarschijnlijkheid te bepalen dat we op een kinderdagverblijf een jongen selecteren, eerst de waarschijnlijkheid berekenen dat we voor elk kinderdagverblijf een jongen selecteren en deze vervolgens bij elkaar optellen:

Oefening 2

Van 25 bedrijven in een land werd het boekjaar bestudeerd en hoe hun aandelenkoersen veranderen afhankelijk van het economische resultaat van dat jaar. U kunt de verzamelde gegevens bekijken in de volgende kruistabel:

Hoe waarschijnlijk is het dat een bedrijf winst maakt en de aandelenkoers ook ziet stijgen?

In dit geval zijn de gebeurtenissen afhankelijk omdat de waarschijnlijkheid dat aandelen stijgen of dalen afhangt van de economische uitkomst. Daarom moeten we de formule van de vermenigvuldigingsregel toepassen op afhankelijke gebeurtenissen:

We berekenen daarom eerst de kans dat een bedrijf winst maakt en vervolgens de kans dat de aandelen van het bedrijf toenemen als het economische winst heeft gemaakt:

Vervolgens vervangen we de berekende waarden in de formule en berekenen we de gezamenlijke waarschijnlijkheid: