Axioma's van waarschijnlijkheid

In dit artikel wordt uitgelegd wat de axioma’s van waarschijnlijkheid zijn. U vindt dus de axiomatische definitie van waarschijnlijkheid, wat de verschillende axioma’s van waarschijnlijkheid zijn en een voorbeeld van hun toepassing.

Wat zijn de 3 axioma’s van waarschijnlijkheid?

De axioma’s van waarschijnlijkheid zijn:

1. Waarschijnlijkheidsaxioma 1 : De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis kan niet negatief zijn.
2. Waarschijnlijkheidsaxioma 2 : De waarschijnlijkheid van een bepaalde gebeurtenis is 1.
3. Waarschijnlijkheidsaxioma 3 : De waarschijnlijkheid van een reeks exclusieve gebeurtenissen is gelijk aan de som van alle waarschijnlijkheden.

De drie waarschijnlijkheidsaxioma’s worden ook wel de Kolmogorov-axioma’s genoemd, omdat ze in 1933 door deze Russische wiskundige zijn geformuleerd.

Elk type waarschijnlijkheidsaxioma wordt hieronder in meer detail uitgelegd.

Axioma 1

Het eerste waarschijnlijkheidsaxioma zegt dat de waarschijnlijkheid dat een gebeurtenis plaatsvindt niet negatief kan zijn en daarom ligt de waarde ervan tussen 0 en 1.

Als de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis nul is, betekent dit dat het onmogelijk is dat deze gebeurtenis plaatsvindt. Aan de andere kant, als de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis 1 is, betekent dit dat deze gebeurtenis zeker zal plaatsvinden. Dus hoe hoger de waarschijnlijkheidswaarde van een gebeurtenis, hoe groter de kans dat deze plaatsvindt.

axioma 2

Het tweede waarschijnlijkheidsaxioma stelt dat de waarschijnlijkheid van het optreden van een bepaalde gebeurtenis gelijk is aan 1.

Een bepaalde gebeurtenis is het resultaat van een willekeurige ervaring die altijd zal plaatsvinden. Daarom kan een veilige gebeurtenis ook worden gedefinieerd als de steekproefruimte van een gerandomiseerd experiment.

Axioma 3

Het derde waarschijnlijkheidsaxioma stelt dat, gegeven een reeks exclusieve gebeurtenissen, de gezamenlijke waarschijnlijkheid van alle gebeurtenissen gelijk is aan de som van alle waarschijnlijkheden van voorkomen.

Twee of meer gebeurtenissen zijn exclusief als ze niet tegelijkertijd kunnen plaatsvinden. Om de gezamenlijke waarschijnlijkheid te berekenen, is het daarom niet nodig om rekening te houden met de waarschijnlijkheid dat ze tegelijkertijd voorkomen.

Voorbeeld van waarschijnlijkheidsaxioma’s

Als voorbeeld zullen we hieronder verschillende resultaten analyseren van het experiment met het gooien van een dobbelsteen, zodat je kunt zien dat aan de waarschijnlijkheidsaxioma’s is voldaan.

Als je met een dobbelsteen gooit, zijn er zes mogelijke uitkomsten, namelijk:

In dit geval zijn alle uitkomsten even waarschijnlijk, dus om de waarschijnlijkheid van elke uitkomst te bepalen, hoeven we alleen maar de waarschijnlijkheid van een uitkomst te bepalen. We passen dus de formule van de Laplace-regel toe om de waarschijnlijkheid van elke mogelijke uitkomst te berekenen:

Omdat de waarschijnlijkheid van het verkrijgen van elke uitkomst positief is, wordt voldaan aan het eerste waarschijnlijkheidsaxioma.

Laten we nu het tweede axioma eens bekijken. In dit geval krijgt een bepaalde gebeurtenis „een getal van 1 tot 6“, dus tellen we de kans op elk resultaat op:

De waarschijnlijkheid van een bepaalde gebeurtenis is dus gelijk aan 1, daarom is ook aan het tweede waarschijnlijkheidsaxioma voldaan.

Ten slotte rest ons alleen nog het verifiëren van het derde waarschijnlijkheidsaxioma. De verschillende resultaten die we kunnen verkrijgen door een dobbelsteen te gooien sluiten elkaar uit, want als we bijvoorbeeld een 2 gooien, kunnen we niet langer een 5 krijgen. Daarom kan de berekening om twee willekeurige getallen te verkrijgen op twee manieren worden uitgevoerd: De regel van Laplace of door de waarschijnlijkheid van elke uitkomst op te tellen.

In beide gevallen krijgen we dezelfde waarschijnlijkheidswaarde, dus het derde waarschijnlijkheidsaxioma is ook waar.

Eigenschappen afgeleid van de axioma’s van waarschijnlijkheid

Uit de drie waarschijnlijkheidsaxioma’s kunnen we de volgende eigenschappen afleiden:

1. De kans op een onmogelijke gebeurtenis is nul.



2. De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis is gelijk aan of kleiner dan 1.





3. De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis is gelijk aan één minus de waarschijnlijkheid van de complementaire gebeurtenis .



4. Als een gebeurtenis deel uitmaakt van een andere gebeurtenis, moet de waarschijnlijkheid van de eerste gebeurtenis kleiner zijn dan of gelijk zijn aan de waarschijnlijkheid van de tweede gebeurtenis.



5. De waarschijnlijkheid dat twee gebeurtenissen samenkomen is de som van hun kansen minus de waarschijnlijkheid dat ze elkaar kruisen.



6. Gegeven een reeks van twee bij twee onverenigbare gebeurtenissen , wordt hun gezamenlijke waarschijnlijkheid berekend door de waarschijnlijkheid van het optreden van elke gebeurtenis op te tellen.



7. Als de monsterruimte eindig is en een gebeurtenis S={x ₁ ,x ₁ ,…,x _k } is, is de waarschijnlijkheid van het optreden van de genoemde gebeurtenis gelijk aan de volgende uitdrukking: