Waarschijnlijkheidseigenschappen

Von Dr.benjamin anderson August 1, 2023 Waarschijnlijkheid Keine Kommentare

In dit artikel leggen we uit wat waarschijnlijkheidseigenschappen zijn en daarnaast kun je van elke waarschijnlijkheidseigenschap een concreet voorbeeld zien.

Wat zijn de eigenschappen van waarschijnlijkheid?

De eigenschappen van waarschijnlijkheid zijn:

De waarschijnlijkheid van één gebeurtenis is gelijk aan één minus de waarschijnlijkheid van de tegengestelde gebeurtenis.
De waarschijnlijkheid van een onmogelijke gebeurtenis is altijd nul.
Als een gebeurtenis deel uitmaakt van een andere gebeurtenis, moet de waarschijnlijkheid van de eerste gebeurtenis kleiner zijn dan of gelijk zijn aan de waarschijnlijkheid van de tweede gebeurtenis.
De waarschijnlijkheid dat twee gebeurtenissen samenkomen is gelijk aan de som van de waarschijnlijkheid dat elke gebeurtenis afzonderlijk plaatsvindt minus de waarschijnlijkheid dat ze elkaar kruisen.
Gegeven een reeks van twee bij twee onverenigbare gebeurtenissen, wordt hun gezamenlijke waarschijnlijkheid berekend door de waarschijnlijkheid van het optreden van elke gebeurtenis op te tellen.
De som van de kansen van alle elementaire gebeurtenissen in een steekproefruimte is gelijk aan 1.

Dit is eenvoudigweg een samenvatting van wat de basiseigenschappen van waarschijnlijkheid zijn. Hieronder vindt u een meer gedetailleerde uitleg en praktijkvoorbeelden van elke woning.

Eigendom 1

De waarschijnlijkheid van één gebeurtenis is gelijk aan één minus de waarschijnlijkheid van de tegengestelde gebeurtenis. Daarom is de som van de waarschijnlijkheid van één gebeurtenis plus de waarschijnlijkheid van de tegengestelde gebeurtenis gelijk aan 1.

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

De kans op het gooien van het getal 5 is bijvoorbeeld 0,167, omdat we de kans op het gooien van een ander getal kunnen bepalen met behulp van deze probabilistische eigenschap:

$P(5)=0,167$

$P(1, 2, 3, 4, 6)=1-P(5)=1-0,167=0,833$

Eigenschap 2

De waarschijnlijkheid van een onmogelijke gebeurtenis is 0. Als een bepaalde uitkomst van een willekeurig experiment zich niet kan voordoen, is de waarschijnlijkheid van optreden logischerwijs nul.

$P(\varnothing)=0$

We kunnen bijvoorbeeld niet het resultaat van het getal 7 krijgen door een enkele dobbelsteen te gooien, dus de kans op deze gebeurtenis is nul.

$P(7)=0$

Eigendom 3

Als een gebeurtenis deel uitmaakt van een andere gebeurtenis, moet de waarschijnlijkheid van de eerste gebeurtenis kleiner zijn dan of gelijk zijn aan de waarschijnlijkheid van de tweede gebeurtenis.

Als een gebeurtenis deel uitmaakt van een reeks gebeurtenissen, kan de kans dat een enkele gebeurtenis zich voordoet uiteraard niet groter zijn dan die van de gehele reeks.

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

De kans dat je het getal 4 gooit, is bijvoorbeeld 0,167. Aan de andere kant is de kans op een even getal (2, 4, 6) 0,50. Aan deze eigenschap van de waarschijnlijkheidstheorie is dus voldaan.

$P(4)=0,167$

$\begin{aligned}P(\text{n\'umero par})&=P(2)+P(4)+P(6)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=0,5\end{aligned}$

$P(4) <h3 class="wp-block-heading"><span class="ez-toc-section" id="propiedad-4"></span> Propriété 4<span class="ez-toc-section-end"></span></h3> <p> La probabilité d’union de deux événements est égale à la somme de la probabilité que chaque événement se produise séparément moins la probabilité de leur intersection. En théorie des probabilités, cette propriété est connue sous le nom de règle de somme et sa formule est la suivante :[latex]P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“107″ width=“2040″ style=“vertical-align: -5px;“></p> </p> <p> Concrete voorbeelden van de toepassing van deze eigenschap kunt u bekijken door hier te klikken: </p> <div style=$ ➤ Zie: Opgelost voorbeeld van de optelregel

Eigendom 5

Gegeven een reeks van twee bij twee onverenigbare gebeurtenissen, kan hun gezamenlijke waarschijnlijkheid worden berekend door de waarschijnlijkheid van het optreden van elke gebeurtenis op te tellen.

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

De verschillende resultaten van het gooien van een dobbelsteen zijn bijvoorbeeld onverenigbare gebeurtenissen, omdat als je één getal gooit, je geen ander getal kunt krijgen. Om de waarschijnlijkheid van het verkrijgen van een oneven getal te bepalen, kunnen we dus de waarschijnlijkheid van het verschijnen van verschillende oneven getallen optellen:

$\begin{aligned}P(\text{n\'umero impar})&=P(1\cup3\cup5)\\[2ex]&=P(1)+P(3)+P(5)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=0,5\end{aligned}$

Eigendom 6

De som van de kansen van alle elementaire gebeurtenissen in een steekproefruimte is gelijk aan 1.

Het is duidelijk dat een willekeurig experiment moet resulteren in een elementaire gebeurtenis in de monsterruimte, dus een elementaire gebeurtenis in de monsterruimte zal altijd plaatsvinden, en daarom moet de totale waarschijnlijkheid van optreden in de monsterruimte 100% zijn.

$\Omega=\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$

$P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)=1$

De voorbeeldruimte voor het gooien van een dobbelsteen is bijvoorbeeld Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, dus de som van de kansen op alle mogelijke uitkomsten is gelijk aan 1:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

$\begin{aligned}P(\Omega)&=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167+0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=1\end{aligned}$

Axioma’s van waarschijnlijkheid

Naast de waarschijnlijkheidseigenschappen die we zojuist hebben gezien, moeten we in gedachten houden dat er ook axioma’s van waarschijnlijkheid zijn, de belangrijkste regels die de waarschijnlijkheid van gebeurtenissen definiëren.

De waarschijnlijkheidsaxioma’s zijn dus als volgt:

Waarschijnlijkheidsaxioma 1 : De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis kan niet negatief zijn.
Waarschijnlijkheidsaxioma 2 : De waarschijnlijkheid van een bepaalde gebeurtenis is 1.
Waarschijnlijkheidsaxioma 3 : De waarschijnlijkheid van een reeks exclusieve gebeurtenissen is gelijk aan de som van alle waarschijnlijkheden.

U kunt hier meer leren over de axioma’s van waarschijnlijkheid en voorbeelden van hun toepassing:

➤ Zie: Axioma’s van waarschijnlijkheid

Über den Autor

Dr.benjamin anderson

Ik ben Benjamin, een gepensioneerde hoogleraar statistiek die nu een toegewijde Statorials-lesgever is. Ik heb uitgebreide ervaring en expertise op het gebied van statistiek en ik ben vastbesloten om mijn kennis te delen met studenten via Statorials. Lees verder